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sinθの値をθを用いて表すには
sin45°＝(√2)/2 sin60°＝(√3)/2 といったものや ２・３倍角の公式や半角公式とかで出るものはわかるのですが、 それらを使えない例えば sin1°とかsin√2°も知りたくなりました。 そこで、検索でも全然見当たらなかったのですが、sinθの値をθを用いて表した公式というのは存在するのでしょうか？ もちろん、小数ではなく分数表記で出す方法をお願いします。
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θが度数法なら、次の式で計算できます ANo.2さんが紹介している、『テイラー展開』(マクローリン展開)と呼ばれる方法です。 この文を書いてる最中に答えられてしまいましたが、折角なので載せておきます。 sinθ = X - { (X^3) / (3!) } + { (X^5) / (5!) } - { (X^7) / (7!) } + … ただし、X = (π / 180)θ …の後ろには無限に式が続きます。 結局のところ、sinθの値を簡単に求められる公式は無いと思います。 > もちろん、小数ではなく分数表記で出す方法をお願いします。 sinの値は無理数になるものが多いです。 中には√やπを使っても表記不可能な数だってあるはずです。 つまり無限小数でないと表現できないsinの値があるかもしれません。
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- Tacosan
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sin 1°は sin 40°の値がわかれば加減乗除と√だけで記述できます. で sin 40°の値はとある 8次方程式を解けばいいんだけど, これは相反方程式なので実際には 4次方程式を解いてから 2次方程式に還元できます. 4次方程式には解の公式が存在しますから, 「理論上は」努力と根性で書ける, はず. やりたくないけど. あと, θが弧度法で (0 でない) 有理数で表される角度だと, sin θ は超越数になるはず＞#3.
お礼
sin 40°が出ればsin 1°が出るとは… sin 40°を求める8次方程式は検索しても出てきませんでしたが、 結構やり方ってあるんですね。 sin θが超越数ってことはもしかしたら未発見の公式とかがあるのかも知れないって気分になりました。 回答、有難う御座います。
- sanori
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こんばんは。 ＃１様がおっしゃるとおり、 θ≪１ のとき、 sinθ ≒ θ なのですが、 それは、θの単位が度（°）ではなくラジアン（rad）であるときの話です。 ですから、たとえば、sin１°の近似値を求めるには、 まず、１°をラジアンに変換します。 １°／１８０°× π ＝ 0.0175 ラジアン よって、 sin１°≒ 0.0175 ここからが本題です。 「θを用いて表す公式」はありますが、足し算を無限に行う式（無限級数）になります。 テイラー展開 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%B1%95%E9%96%8B （「例」の章を参照してください。）
お礼
テイラー展開はすぐには理解できそうにありませんが、 つまり根号などを用いた代入することで精確な値を求められる公式は存在しないってことですね？ 少し残念です。回答、有難う御座いました。
- mistery200
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θが十分に小さいときは sinθ＝θです。
お礼
なるほど、本当にθが小さいときはそんな等式が成り立つんですね。 参考になりました。有難う御座います。
お礼
テイラー展開の具体的なやり方、非常に参考になりました。 なるほど。確かにπは√など他の記号では表せませんよね。 三角関数の値もそういう値の一種の場合も多いのかなぁ。 回答、有難う御座います。