cosθやsinθを何乗もしたものを積分するには

質問

例えば∫(cosθ)^6dθのような、cosθやsinθを何乗もしたものを積
分するにはどうしたらいいでしょうか？自分は、倍角の公式から(cosθ)^2=1/2*
（cos2θ+1）を出します。それを掛け合わせて出た値がまたcos2θの何乗かにな
ってしまってたらさらに
（cos2θ）^2=1/2*（cos4θ+1）を使って……というようなことを繰り返すのです
が、自分の解き方は効率の悪い解き方なのではないか？という疑問が生じました
。

回答No.3

rnakamra · ベストアンサー

n:奇数の場合。
n=2k+1とおくと
∫(cosθ)^(2k+1)dθ=∫{(cosθ)^2}^k*cosθdθ=∫{1-(sinθ)^2}^k*cosθdθ
ここでt=sinθとおくと、dt/dθ=cosθであるから
与式=∫(1-t^2)^kdt
となります。以下略
n:偶数の場合。あなたのやり方が一番よいでしょう。展開の際、奇数乗のものが出てきたら上の方法で計算する。

高校数学を逸脱すれば、
cosθ={e^(iθ)+e^(-iθ)}/2
を使って変形する方法があります。
この式を使うと
(cosθ)^6=(1/32)*cos6θ+(3/16)cos4θ+(15/32)cos2θ+5/16
程度の式は2分とかからず導出できるのでそれから積分を行えばよい。
sinθについてはt=π/2-θとでも変数変換すればcosの式になります。

回答No.2

info22

>自分は、倍角の公式から(cosθ)^2=1/2*
>（cos2θ+1）を出します。それを掛け合わせて出た値がまたcos2θの何乗か
>になってしまってたらさらに
>（cos2θ）^2=1/2*（cos4θ+1）を使って……というようなことを繰り返すのです
それが必ずできる方法です。

ベキ乗数が少ない場合はそうした方が良いでしょう。

ただし、計算の過程で以下のような積分項がでたら
kを任意の正整数,C1,C2を積分定数としてとして
∫(sinθ)^k*cosθdθ={(sinθ)^(k+1)}/(k+1)+C1
∫(cosθ)^k*sinθdθ=-{(cosθ)^(k+1)}/(k+1)+C2
という積分公式を使って簡単化してやります。

回答No.1

owata-www

こちらを参考に
http://d.hatena.ne.jp/arakik10/20050701/p2

ちなみにcosθも同様に出来ます

お礼

どうもありがとうございます。