sin^2(x)の定積分

質問

sin^2(x)の定積分

次の積分が実行できません。
たぶん倍角の公式を使って分解するのだと思いますが。

∫[0→cos^(-1)(√(R/b))] dθ sin^2θ

= (1/2)(cos^(-1)(√(R/b)) - √(R/b-R^2/b^2))

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

倍角公式より
sin^2θ=(1-cos2θ)/2
よって
∫ sin^2θ dθ＝（1/2）∫ (1-cos2θ) dθ＝(1/2){θ-sin2θ/2}
=(1/2){θ-sinθcosθ}
θ=0のときこの値は0
θ=cos^(-1)(√(R/b))のとき
cosθ=√(R/b)
sinθ=(1-cosθ^2)^(1/2)=√(1-R/b)
よって積分は
∫[0→cos^(-1)(√(R/b))] dθ sin^2＝(1/2){θ-sinθcosθ}
＝(1/2){cos^(-1)(√(R/b))-√(R/b)√(1-R/b)}
＝(1/2){cos^(-1)(√(R/b))-√(R/b-R^2/b^2)}

お礼

ご回答いただきありがとうございます。

とても親切なご回答、助かりました。

回答No.1

Willyt

sin^2(x)=(1-cos2x)/2 を代入すれば簡単に積分できます。

お礼

ご回答いただき、まことにありがとうございます。

倍角の公式を使った後がわかりませんでした。