根を持つことの示し方

質問

ある関数があってその関数がが与えられた区間で根を持つことを示すにはどうすればよいのでしょうか？どうかご教授お願いしたいです。
前回具体的に問題を記入したところ削除されてしまったようなので、問題の解法をぜひぜひ教えていただきたいです。

回答No.6

jo-zen · ベストアンサー

ANo.2のjo-zenです。補足します。

＞なぜ区間内でf(x)=0となれば根を持つのでしょうか？

⇒質問文の「ある関数があってその関数がが与えられた区間で根を持つ」というのは、厳密にいうと正しい表現ではありません。言いたいことがわからないわけではありませんが。また、上記文章を厳密にいえば、「区間内でf(x)=0となる、a≦ｃ≦b である根x=c が存在する」となります。

例えば　関数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d があったとして、方程式 ax^3+bx^2+cx+d = 0 が根（解）を持つということで、区間限定ということならば、区間a≦x≦b で 、方程式 ax^3+bx^2+cx+d = 0 が根をもつかどうかということです。この場合３次方程式ですから、最大３つの根を持ちます。すなわち、３つの根をα、β、γすると上記方程式は、a(x-α)(x-β)(x-γ)=0 と変形できますよね。ax^3+bx^2+cx+d = 0 の根がx=α、β、γ なのですから、左辺の ax^3+bx^2+cx+d が０とならなることを意味するのですから。もっとも a(x-α)^2(x-β)=0 、a(x-α)^3=0のように変形できる場合もなくはありません。この場合の α は２重根、３重根といいます。またa(x-α)(x^2+ex+f)=0 の形にしか変形できない場合もあります。ｘが実数の範囲では、x^2+ex+f>0 となる場合です。

ｘ-ｙグラフで考えた場合、関数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d =a(x-α)(x-β)(x-γ)の慨形を考えた時、x=α、β、γの時、y=0　となります。つまり、ｘ軸と交点を持つことになるのです。つまり、関数f(x)のグラフはx軸と交差するということです。

いかがでしょう？わかってもらえますでしょうか。

お礼

ありがとうございました。やっと理解することができました！！
本当に今後も分からなかったときはぜひぜひお願いしたいです！！

回答No.5

774danger

例えば、f(x)=x^3-4x としましょう。

f(x)= x(x+2)(x-2) と変形できますよね。

f(x)=0を満たす根の値はいくつでしょうか?
3つあると思いますが、それぞれ一番上の式に代入するとどうなるでしょうか?
代入するとどれも0になりますよね?
(というか0になる値を求めたのですから0になるのは当然なのですが)

難しいですかね

お礼

ありがとうございました。やっとこさ理解することができました。
本当にお詳しくて感謝です。

回答No.4

774danger

a,bを使ってしまっているのでcを使いましょうか。

f(c)=0が成り立つということは、x=cで根を持つということと同値だからです。
f(x)=0の根を求めるということは、xに代入して0になるような値を求めることと一緒なのです。
理解しづらいですかね。

お礼

こんばんは、回答本当にありがとうございます。
すみません、自分はもしかしたら根を持つという意味すら分かっていないのかもしれません。

f(c)=0が成り立つということは、x=cで根を持つということと同値

この意味が分からないので（汗すみませんが、ご教授お願いしたいです

回答No.3

774danger

与えられた区間で根を持つ、という条件であれば別に単調増加、単調減少は関係ないですよね。
与えられた区間で「1つだけ」根を持つ、という場合は単調増加、単調減少とか絡む場合もありますが。
区間内で極大、極小を持とうと(=単調増加、単調減少関数でなくとも)、f(a)f(b)≦0になっていれば最低でも1つの解を持ちます。
(関数が連続というのは大前提ですが)

単調増加、単調減少にかかわらず、f(a), f(b)の符号がどちらも同じ場合は区間a,b内でf(x)の符号が反転する or 0となることは示す必要がありますけど。

回答No.2

jo-zen

関数f(x)が、区間a≦x≦bでf(x)=0となるものがあればいいことになりますが、f(x)が連続関数であれば、

（１）関数f(x)が単調増加の場合
　　　　f(a)≦0 かつ f(b)≧0　であることを示せばよい。

（２）関数f(x)が単調減少の場合
　　　　f(a)≧0 かつ f(b)≦0　であることを示せばよい。

（３）それ以外の場合、導関数（必要ならば第二次導関数も）を調べて、関数の増減表を作り、関数の慨形を示すことにより、区間a≦x≦bでf(x)=0となるものがあることを見つけなければいけません。

お礼

こんにちは、回答ありがとうございます。本当に無知で申し訳ないのですがなぜ区間内でf(x)=0となれば根を持つのでしょうか？教えていただきたいです。

回答No.1

774danger

ある関数をf(x)とおきます。
区間a,bで根を持つということは、y=f(x)のグラフが区間a,bでy=0と交わることを意味しています。
ですので、

・f(a)≧0、f(b)≦0
・f(a)≦0、f(b)≧0

のどちらかを示し、y=f(x)は区間a,bでy=0(x軸)と交わることを示せばいいです。

お礼

かいとうありがとうございます。感謝いたします
ひとつまだ分からないことがあるのですが、なぜ区間a,bで根を持つということは、y=f(x)のグラフが区間a,bでy=0と交わることを意味するのでしょうか？こんなことも分からないですみません！教えていただけたら幸いです