数列の漸化式の問題なんですが、

質問

どうも初めて質問します。　　　　　　　　　　　　　　僕は、高校の数学教師を目指している者です。　　　　　教員採用試験の問題をしていて、どうしてもわからないので、教えてください。（回答が無いのです。）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　初項が１で、n+1項がn項をn倍して2をたしたもの　　　　これの一般項を求める問題です　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　どうか、よろしくお願いします。

回答No.1

punchan_jp · ベストアンサー

力技で解いてみると、
a1 = 1
a2 = 1x1 + 2
a3 = 2x(1x1 + 2) + 2
a4 = 3x(2x(1x1 + 2) + 2) + 2
a5 = 4x(3x(2x(1x1 + 2) + 2) + 2) + 2
ということは、
a5 = 4x3x2x1x1 + 4x3x2x2 + 4x3x2 + 4x2 + 2
ということは、
a5 = 4! + 2Σ^4_{i=1}(4!/i!)
てとこでしょうか？
そうすると一般項は
an = (n-1)! + 2Σ^{n-1}_{i=1}((n-1)!/i!)
となりそうですね（ただし、 0! = 1）。
ほんとかな？
ためしに、
a(n+1) = an x n + 2 = n! + 2Σ^{n-1}_{i=1}(n!/i!) + 2
で、i = n のとき (n!/i!) = 1 だから、
= n! + 2Σ^n_{i=1}(n!/i!)
となって正解くさいですね。
Σ使わずに表現できるのかな？

お礼

本当にありがとうございます。もし、Σを使わずに表現できたり、他に、違う方法がありましたら、是非教えて下さい。

回答No.2

Astone

aのn項目をa[n+1]としましょう。
punchan_jpさんの式は
まず問題の a[n+1] = n * a[n] + 2 の式の両辺を n! で割り
b[n] = a[n] / (n-1)! と置くと
b[n+1] = b[n] + 2/(n)! となって
Σを使えば b[n] の一般項が表現できますから
それに (n-1)! をかけてやれば
でてくるようです。
その式の中に出てくる
(n! を 1からnまでの整数の階乗で順に割ったもの)を全部足したもの
という関数について今考えていますが
これを c[n] と書くと
c[n] = n * c[n-1] + 1
となるようです。
この式は良く考えてみると
a[n+1] - 2*c[n] = n * (a[n] + 2*c[n-1]) = n!
という風に a[n] と関係付けられていて、
この方法でΣを使わずに漸化式が出るような気がしません。

お礼

本当にありがとうございます。おかげで、ずっと悩んでいた事が解決できました。