二次不等式の場合分け

質問

お早う御座います。

二次不等式の問題で解らないことがあるので質問します。

[問]----
x^2-(2a+3)x+a^2+3a<0-----(1)
x^2+3x-4a^2+6a<0---------(2)
について、次の各問いに答えよ。ただしaは正の定数とする。
1. (1)(2)を解け
2. (1)(2)を同時に満たすxが存在するのは、aがどんな範囲にあるときか。
3. (1)(2)を同時に満たす整数xが存在しないのは、aがどんな範囲にあるときか。
--------
問1番の答え
3/4<aの時、-2a<x<2a-3
a=3/4の時、解無し (x+3/2)^2<0より
0<a<3/4の時、2a-3<x<-2a
--------

問1番は分かったのですが、問2番と問3番で場合分けをどのようにすれば良いの
か見当が付かず、どうしても分かりません。

宜敷御願い致します

回答No.2

kumipapa · ベストアンサー

簡単そうに見えて、案外面倒な問題ですね。
a ＞ 0 のもとで、

(1)　x^2 - (2a + 3) x + a^2 + 3a ＜ 0　　⇔　　(x - a) (x - a - 3) ＜ 0
より、(1) の解は a ＜ x ＜ a + 3　　（a の値によらず、これが解）

(2) x^2 + 3x - 4a^2 + 6a ＜ 0　　⇔　　(x + 2a) (x - 2a + 3) ＜ 0
より、(2) の解は
- 2a ＜ 2a - 3 即ち 3/4 ＜ a のとき　　　　-2a ＜ x ＜ 2a - 3
-2a = 2a - 3 即ち a = 3/4 のとき　　　　　　解無し
2a - 3 ＜ - 2a 即ち 0 ＜ a ＜ 3/4 のとき　　2a - 3 ＜ x ＜ - 2a

(1) と (2) が共通解を持つ a の範囲を求める）
(2) の解が a の値によって場合分けされているから、同じように場合分けして考えて見ましょう。
3/4 ＜ a のとき (2) の解は -2a ＜ x ＜ 2a - 3 ですが、a ＞ 0ですから -2a ＜ 0＜ a
従って、(2) の解の上端の 2a - 3 が (1) の解の下端である a よりも大きければ、(1) と (2) は共通解を持つことになります。2a - 3 = a の場合は共通解はなし。このあたりは数直線で考えましょう。
a ＜ 2a - 3
∴　a ＞ 3
これは、3/4 ＜ a の条件を満たします。
a = 3/4 のとき、共通解はなし（(2) に解がない）。
0 ＜ a ＜ 4/3 のとき、(2) の解は 2a - 3 ＜ x ＜ -2a ですが、-2a ＜ 0 より、(2) の解が x＜ 0 の領域にあり、(1) とは共通解はありません（(1) の解は x ＞ 0 の領域にある）。
以上より、(1) と (2) をともに満たす x が存在する a の範囲は a ＞ 3 となります。

(1) と (2) を同時に満たす整数が存在しない a の範囲）
0 ＜ a ≦ 3 では (1) と (2) をともに満たす x が存在しないのですから、当然、(1) と (2) を同時に満たす整数も存在しないので題意を満たします。
3 ＜ a のとき、 (1) と (2) の共通解は、a ＜ x ＜ 2a - 3 （＜ a + 3) または a ＜ x ＜ a + 3 (≦ 2a - 3) ですが、a ＜ x ＜ a + 3 が共通解となるとき、そこに必ず整数も存在するから不適。よって、a ＜ 2a - 3 ＜ a + 3 （即ち 3 ＜ a ＜ 6) であることが必要です。
さらに、a ＜ x ＜ 2a - 3 に整数が含まれないためには、2a - 3 ≦ a + 1 であることも必要です。a が整数である場合に　a ＜ x ＜ 2a-3 = a + 1 なら x は整数にならないので題意を満たしますから、2a - 3 ≦ a + 1 と等号が付きます。これを解けば、a ≦ 4 ですが、こいつは必要条件であって、a ≦ 4 ならば題意を満たすというわけではありません。少なくとも a ≦ 4 でなければならないということです。ということで、3 ＜ a ≦ 4 の範囲で、(1), (2) の共通な整数解が存在しない a を調べればよいです。
3 ＜ a ＜ 4 のとき、 a ＜ x ＜ 2a - 3 に整数が含まれないためには 2a - 3 ≦ 4　でなければなりません。
故に、3 ＜ a ≦ 7/2
a = 4 のとき、 2a - 3 = 5 であるから (1) と (2) の共通解は 4 ＜ x ＜ 5 であり、整数を含まないので題意を満たします。

よって、(1), (2) を同時に満たす整数が存在しない a の範囲は、a≦3 の場合も含めて、 0 ＜ a ≦ 7/2 または a = 4

または、[x] を xを超えない最大の整数とすると、3 ＜ a のとき a ＜ x ＜ 2a - 3 に整数が含まれない必要十分条件は
2a - 3 ≦ [a] + 1
ここで、任意の a (＞ 3 ) は、 自然数 n (≧ 3) と 実数 α ( 0 ≦ α ＜ 1) をもちいて a = n + α と表せるから、
2(n + α) - 3 ≦ [n + α] + 1
2n + 2α - 3 ≦ n + 1　　　　（∵ [n + α] = n ）
α ≦ (4 - n)/2
この不等式と n ≧ 3 ,　0 ≦ α ＜ 1 をすべて満たす n と α の組は n = 3 , 0 ≦ α ≦ 1/2 および n = 4, α = 0
a = n + α, 3 ＜ a より
n = 3, 0 ≦ α ≦ 1/2 のとき 3 ＜ a ≦ 7/2
n = 4, α = 0 のとき a = 4

0 ＜ a ≦ 3 の場合も題意を満たすので、0 ＜ a ≦ 7/2 ,　a = 4

回答No.1

take_5

x^2-(2a+3)x+a^2+3a<0-----(1)から（x-a）*{x-（a+3）}＜0.
a＞0より　a＜x＜a+3　‥‥‥(3)
x^2+3x-4a^2+6a<0---------(2)から（x+2a）*{x-（2a-3）}＜0.‥‥(4)

ここからは、一般的には数直線で考える場合が多い。

＞2. (1)(2)を同時に満たすxが存在するのは、aがどんな範囲にあるときか。

3/4<aの時　(4)は-2＜a＜0＜x＜2a-3‥‥(5)であるから、これが(3)と同時に満たすxが存在するのは　2a-3＞3.‥‥(6)
a=3/4の時、解なしだから条件を満たさない。
0<a<3/4の時、(4)は　2a-3<x<-2a＜0より条件を満たさない。
以上、(6)から　a＞3.

3. (1)(2)を同時に満たす整数xが存在しないのは、aがどんな範囲にあるときか。

これも上と同じように解けばよい。
但し、a＜2a-3＜a+3で　0≦（2a-3）-（a）≦1に注意。

別解

x^2-(2a+3)x+a^2+3a<0-----(1)から（x-a）*{x-（a+3）}＜0.
a＞0より　a＜x＜a+3　‥‥‥(3)
x^2+3x-4a^2+6a<0---------(2)から（x+2a）*{x-（2a-3）}＜0.‥‥(4)

(3)と(4)を座標平面上に図示する。
aをy軸にとると、(3)は（x-a）＞0、{x-（a+3）}＜0、or、（x-a）＜0、{x-（a+3）}＞0。
（x+2a）*{x-（2a-3）}＜0.‥‥(4)は、（x+2a）＞0、{x-（2a-3）}＜0.‥‥、or、（x+2a）＜0、{x-（2a-3）}＞0.

こうしておいて、y＝aより（これは、x軸に平行な直線）上下に動かしてみると、すぐ答えは出ると思うけど。。。。。。。？