ガウスの発散定理について

質問

ガウスの発散定理についての質問です。

半径aなる球内には一様な電荷密度ρ[C/m^3]があるとする。球外には電荷は存在しない。この時、球の内外の電界の強さEと電位V、及びその概略はどうなるのでしょうか？
divEはρ/ε0で求まることはわかったんですが・・・回答お願いします。

回答No.1

Meowth · ベストアンサー

対称性から、球内の電界も球外の電界も放射方向
半径ｒの球と球面について、
divE＝ρ/ε0
∬∫divEdV=∬∫ρ/ε0dV
∬E・dS=4πr^3ρ/3ε0 (r<a)
∬E・dS=4πa^3ρ/3ε0 (r>a)

4πr^2E=4πr^3ρ/3ε0 (r<a)
4πr^2E=4πa^3ρ/3ε0 (r>a)

E= ρ/3ε0 r (r<a)
E=aρ/(3ε0) (a/r)^2 (r>a)

お礼

解決しました！丁寧に教えていただきありがとうございます！

回答No.2

noname#44733

多少補足。
第一式はマクスウェルの方程式の１つです。
第二式はそれを注目している球内部で３重積分したものです。
その左辺は第三式及び第四式の左辺と等しいのがガウスの発散定理です。
その右辺は球面内部の電荷をあらわしていてそれを計算したものが第三式及び第四式の右辺です。
Ｅの面積分はＥが球面に垂直外向きのベクトルで、球面上の任意の点でその大きさが等しいことから、Ｅの大きさ×球の表面積です。それが第五式及び第六式の左辺です。
あとは両辺を４πｒ＾２で割って答えです。

お礼

解決しました！ありがとうございます！！