div（→Ｅ）がよくわかりません

質問

電気系の学部1年生です。
半径aの球に電荷Ｑが帯電しているとき、r<aでdiv（→Ｅ）をとると正の値になって、r>aでdiv(→Ｅ)をとると0になるらしいのですが、この物理的な意味がよくわかりません。
ガウスの定理では境界内に電荷があればE=kQ/r^2となり、r>aでもＥは正になるのですが、div（→Ｅ）が正にならないのはなぜですか？
divは境界内に電荷が存在していてもr>aなら０になってしまうのですか？
本当によくわからないので、わかりやすく教えてください。

回答No.1

foobar · ベストアンサー

div(E)は、その観測（計算）している点に電荷が有るかどうか
(電界（本当は電束の方が良いんだろうけど）の不連続が生じているかどうか)、
を示します。
r>aの領域に電荷が無ければ、div(E)=0になるかと。

お礼

よくわかりました。ありがとうございます。

回答No.3

shkwta

力ずくで計算してみたらどうでしょう。

電界(ベクトル）を E =(Ex, Ey, Ez) とします。
位置ベクトルをr = (x,y,z) とします。

《球の外側(|r|>a)の電場》
Ex = k Q x /(|r|^3)
Ey = k Q y /(|r|^3)
Ez = k Q z /(|r|^3)

準備として微分を求めておきます。
|r| = √(x^2 + y^2 + z^2)　の関係を使って、
(∂/∂x)(1/(|r|^3))= -3(|r|^(-4))(1/(2|r|)(2x) = 3x|r|^(-5)
同様に
(∂/∂y)(1/(|r|^3)) = 3y|r|^(-5)
(∂/∂z)(1/(|r|^3)) = 3z|r|^(-5)

div E = (∂Ex/∂x)+(∂Ey/∂y)+(∂Ez/∂z)
= k Q {|r|^(-3) - 3(x^2)|r|^(-5)}
+ k Q {|r|^(-3) - 3(y^2)|r|^(-5)}
+ k Q {|r|^(-3) - 3(z^2)|r|^(-5)}
= 0

《球の内側(|r|<a)の電場》
Ex = k Q x /(a^3)
Ey = k Q y /(a^3)
Ez = k Q z /(a^3)

div E = (∂Ex/∂x)+(∂Ey/∂y)+(∂Ez/∂z)
= k Q {1/(a^3)} + k Q {1/(a^3)} + k Q {1/(a^3)}
= 3 k Q {1/(a^3)}
= Q/[{4π(a^3)/3}ε。]
= ρ/ε。

ここで、4π(a^3)/3　は球の体積です。
また、k = 1/(4 π ε。)　を使っています。

ということで、球の外では div E = 0 ですし、
球の内部では一定値 div E = ρ/ε。になります。

この例に限らず、div E はその点の電荷密度で決まり（div E = ρ/ε。）、その点以外の電荷には影響を受けません。そのことを、典型的な状況で説明することを狙ったのがこの問題だと思いますので、よく理解したほうがいいと思います。

お礼

計算までだしていただいてありがとうございます。

回答No.2

noname#11920

>ガウスの定理では境界内に電荷があればE=kQ/r^2となり
細かいようですが、「ガウスの定理」ではなくて、「ガウスの法則」です。
それはさておき、重要な事実を忘れています。
E=kQ/r^2と言うのは、
Maxwell方程式のdiv E = ρ/ε0を、
Eが球対称であると仮定して積分をしたときの結果です。
Maxwell方程式中のEはあくまでもベクトルです。

ご質問の「境界」とは恐らく中心を同じにした球を考えて、
その中にある電場を考えているようですが、
「境界」は本来任意に選ぶことが出来ます。
r>a の領域を適当に選んで、小さいな「境界」で囲って見てください。
その中に電荷はありますか?
(当然ですが、ここでは電場は正の大きさを持っていますよ)

お礼

よくわかりました。ありがとうございます。