式と証明の問題

質問

ある問題で
正の数a1,a2,a3,・・・,anについて、S(ｎ)=(a1+a2+a3+・・・+an)/n, T(n)=(a1*a2*a3*・・・*an)^(1/n)→｛(a1*a2*a3*・・・*an)のn乗根です。｝
とさだめる。
このときS(n+1)≧T(n+1) (n≧1)が成立するならば、S(n)≧T(n)が成立することを示せ。

というものがありました。

解答には、
a(n+1)=S（n） (＞0)　とおくと、
S(n+1)=(a1+・・・+an+S(n))/(n+1)=S(n)
T(n+1)=(a1*・・・*an*S(n))^(1/(n+1))
そしてS(n)^(n+1)≧a1*・・・*an*S(n)
∴S(n)^n≧a1*・・・*an=T(n)^n
そしてS(n)≧T(n)

となっていたのですが、最初にa(n+1)=S(n)とおいたのがよくわかりません。なぜ問題中で違う数字を一緒にできるのでしょうか。
そのまま計算していくと答えがずれていくような気がします。
なぜこのように仮定して計算、証明できるのか教えていただけるとうれしいです。よろしくお願いします。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

＞最初にa(n+1)=S(n)とおいたのがよくわかりません。

　この問題は「S(n+1)≧T(n+1) (n≧1)」の必要条件を求める問題です（必要純分条件を求める問題ではありません）。

http://phaos.hp.infoseek.co.jp/preparations/condition.htm

　そして、必要条件を求める場合には、少なくともある特殊な条件下でも成立しなければならない、ということを利用して解く方法があります。

　この問題では、正の数a1,a2,a3,・・・,an　は恐らく任意の正の数という設定になっていると思います。
　そうすると、a(n+1) はどんな正の数（１でも２でも）を持ってきても「S(n+1)≧T(n+1) (n≧1)」が成り立たなければなりません。それは、つまり、S（n） (＞0)であっても成り立たなければならないということです。
　そこで、１つの特殊な例として「a(n+1)=S（n） (＞0)　」と想定すると、たまたま問題に与えられたような必要条件「S(n)≧T(n)」が導かれたということだと思います。

　なお、この問題がもし
　　「S(n+1)≧T(n+1) (n≧1)」の必要純分条件が「S(n)≧T(n)」であることを示せ。
というものであったとしたら、《解答》に書かれた手法は誤りとなります（十分条件の検証ができていませんので）。

お礼

回答ありがとうございます。
命題についての、問題の解き方がよく分かりました。
必要条件を求める場合に、自分で何か数を想定して証明していく、というやり方があったとは・・・。
分かっているようで理解できていなかったです。
これからは、様々なこういった問題に対処していけそうです。
ありがとうございました。

回答No.1

D-JAGA

間違えてたらすみません。解答と問題文から推測して書きます。

a(n)という数字は、何か不明であり、正の数字ということ意外は拘束がない状態です。どのような数列かも不明。
ということは、a(n)はどのような数字にも仮定できてしまう分けですので、当然a(n+1)もどのように仮定しても問題無しとなります。
ということから、a(n+1)=S（n）とかってに設定してしまおうと言うことです。(S(n)の中身はどうでもいい)
う～ん、これは最後の形が見えてないと(もしくは解答方法を知っていなければ)、思いつかないですね。多分。

お礼

回答ありがとうございます。
こういう問題の場合は、自分でなにか仮定をして解いてみて、それでなりたてば証明できているんですね。
もやもやだったものがすっきりしました。
ありがとうございました。