「ルベーグ積分」と「リーマン積分」

質問

f(x)=sinx/xにおいて範囲が[0,∞)のとき、f(x)は広義ルベーグ積分であることはわかりますが、質問したいのは次のことです。f(x)は広義リーマン積分は可能だが、狭義でのルベーグ積分が可能でないのはどうしてですか？どなたか教えてくださいm(__)mお願いします。

回答No.1

Nandayer · ベストアンサー

ルベーグ積分の定義を復習すると、
　　１）非負階段関数で定義する。
　　２）非負可測関数で定義する。
　　３）一般の可測関数で定義する。
の段階を踏みますね。３）では、可測関数 f を
　　 　f = f+ - f-
　　　ここで、
　　　　f+(x) = max (f(x), 0)　　f-(x) = max (-f(x), 0)
と分解して、
　　　 f の積分 = f+ の積分　－　f- の積分
と２）に帰着させて定義するのでした。
　御質問の関数は可測ですが、f+ の積分も f- の積分も ∞ であり、f の積分は ∞ - ∞ となってしまって計算できません。したがって、可積分ではありません。

　そういえば今年は、ルベーグ積分誕生 100 年でした。
　　http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Lebesgue.html

お礼

本当にありがとうございましたm(__)mおかげでレポが完成いたしました。またなにかあったらご協力お願いいたします。

回答No.2

Nandayer

書き忘れたので追加です。

　広義リーマン積分では、有界閉区間[0,b]で定義してから b → ∞ と極限をとることによって、[0,∞) での積分を定義しました。御質問の関数では、無限級数でいえば絶対収束ではない、条件収束のような収束をします。
　という意味で、「広義ルベーグ積分」はあまり考えないようです。「広義積分」は、ウソの収束（条件収束）を含むからです。ルベーグ積分のいいところは多くの収束定理が成り立つことなのに、「広義積分」まで可積分と考えると、それらが台無しになってしまいます。

　以上、説明不足なところがございましたら、補足などを使って再質問してください。

お礼

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