ルベーグ積分に関する質問です。

質問

ルベーグ積分に関する質問です。
f:(-π,π)→（実数または±∞）とし、fは(-π,π)上ルベーグ積分可能とします。
(-π,π)に含まれる任意の区間(a,b)上での積分が0すなわち∫_a^bf(s)ds=0とします。

この時、fがほとんどいたるところ0になることを証明してほしいです。（そもそもfはほとんどいたるところ0になりますか？）

回答No.1

Anti-Giants

たぶんこんな感じだと思う
m((a,b]) = b-a としてルベーグ測度を構成したように
μ((a,b]) = int[(a,b]]f(x)dx として測度を構成する

m ルベーグ測度

f = g - h
g = max{f,0}
h = max{0,-f}

J = 右閉集合(a,b]の直和全体

G(A) = int[A]g(x)dm
H(A) = int[A]h(x)dm

GとHはルベーグ集合体上の完備測度

GとHの誘導外測度を
MG(A) = inf{G(E)|A⊂E, E?J}
MH(A) = inf{H(E)|A⊂E, E?J}

int[a,b]f(x)dx = 0 ⇒ G((a,b)) = H((a,b)) だから MG = MH

GはMGから、HはMHから決定される完備測度と一致する
MG = MH だから G = H
したがって、任意のルベーグ可測集合Aに対して inf[A]f(x)dx = 0

t > 0とする
A(t) = {x ? T | g(x) > t}とすると
0 = int[A(t)]f(x)dm = int[A(t)]g(x)dm ≧ tm(A(t))
よって m(A(t)) = 0
t　→　∞ とすれば m(A(0)) = 0
つまり、g = 0 a.e.
hも同様

お礼

簡単な論理でわかりやすかったです。ありがとうございます。
測度ってこういう風にも使えるんですね。引き続き勉強をがんばります^^