積分について質問です

質問

広義積分∫dx/sinxが発散することを証明するにはどうすればよいですか？
積分の範囲は０～π/2です

回答No.3

info22

∫dx/sin(x)=∫sin(x)/{sin(x)}^2 dx
=∫sin(x)/{(1-cos(x))(1+cos(x))} dx
=(1/2)∫[{sin(x)/(1-cos(x))}+{sin(x)/(1+cos(x))}]dx
=(1/2){ln(1-cos(x))-ln(1+cos(x))}+C
=(1/2)ln{(1-cos(x))/(1+cos(x))}+C

したがって, 0<h<k<π/2として
∫[h,k]dx/sin(x)
=(1/2)[ln{(1-cos(k))/(1+cos(k))}-ln{(1-cos(h))/(1+cos(h))}]

ここで
lim[k→π/2] cos(k)=0
lim[k→π/2] ln{(1-cos(k))/(1+cos(k))}=ln(1)=0
lim[h→0] cos(h)=1-
lim[h→0] -ln{(1-cos(h))/(1+cos(h))=∞
であるから

=∞　（発散）

お礼

ありがとうございました
またよろしくお願いします

回答No.2

suica-zx

三角関数の積分ですから、tan(x/2)=tと置くと
sin(x)=2t/(1+t^2)
1/sin(x)=(1+t^2)/2t
（↑この辺は半角の公式を使うとすぐに出ます。）
dx=2/(1+t^2) dt
となるから
∫dx/sin(x)=∫(2/(1+t^2))dt(1+t^2/2t)
=∫dt/t=ln(t)

ここで、x:0→π/2 なら、t:tan(0)→tan(π/4)
t:0→1となるから
x:0→π/2における∫dx/sin(x)は(lnはlog eと同じ）

∫dx/sin(x)=∫dt/t=[ln(t)](t:0～1)=ln(1)-ln(0)

となり、ln(1)=0だけど、ln(0)=-∞になるから、ちょっと乱暴な書き方をすると、

∫dx/sin(x)=∫dt/t=[ln(t)](t:0～1)=ln(1)-ln(0)=0-(-∞)=+∞

となるから、∫dx/sin(x)[x:0→π/2]は発散する。

お礼

ありがとうございます
たすかりました

回答No.1

suica-zx

三角関数の積分ですから、tan(x/2)=tと置くと
sin(x)=2t/(1+t^2)
1/sin(x)=(1+t^2)/2t
（↑この辺は半角の公式を使うとすぐに出ます。）
dx=2/(1+t^2) dt
となるから
∫dx/sin(x)=∫(2/(1+t^2))dt(1+t^2/2t)
=∫dt/t=ln(t)

ここで、x:0→π/2 なら、t:tan(0)→tan(π/4)
t:0→1となるから
x:0→π/2における∫dx/sin(x)は(lnはlog eと同じ）

∫dx/sin(x)=∫dt/t=[ln(t)](t:0～1)=ln(1)-ln(0)

となり、ln(0)=1だけど、ln(0)=-∞になるから、ちょっと乱暴な書き方をすると、

∫dx/sin(x)=∫dt/t=[ln(t)](t:0～1)=ln(1)-ln(0)=0-(-∞)=+∞

となるから、∫dx/sin(x)[x:0→π/2]は発散する。

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