プリズムの分光の実験

質問

分光器を使ってプリズムの分光をし、分散公式の定数を求めるという実験を行いました。
Hgランプを使って波長とその屈折率をそれぞれのスペクトルで求めて、ハルトマンの分散公式というものに代入して定数を求めるのですが、その公式が
n-1=A+f/(λ^2 - {λ0}^2)
で、λ、nが波長とその屈折率です。
A、f、λ0は定数らしいのですが、連立方程式をいくつか解いているとλ0の値が虚数になってしまいました。
λ0が何の値かは明記されていませんでしたが、λと書くくらいなので波長ですよね。虚数の波長というのはありえるのでしょうか？
そもそもλ0というのは定数ですよね？実数と虚数、定数が2つというのはおかしくないでしょうか？

回答No.4

hitokotonusi

>文献値でも計算すると波長が虚数になってしまう、というのはわからないでしょうか？

エスパーでもない限りはわかるはずがないですよ。
可能性としては、

・計算ミス。
・連立方程式を解く過程が間違っている。
・データが分散式に乗っていない

ぐらいでしょうか。

もともとの分散式が所詮は近似式なので、現実のデータとはいくらかずれます。
特に、紫外域、赤外域に近いところでは大きく外れてきている可能性があります。

いずれにしても連立方程式で解くのはまことによろしくない。
最小二乗法を使うべきです。

回答No.3

hitokotonusi

最小二乗法はこのサイトがわかりやすいと思います。

http://szksrv.isc.chubu.ac.jp/lms/lms1.html

参考URL：

http://szksrv.isc.chubu.ac.jp/lms/lms1.html

お礼

ありがとうございます。頑張ってみます。
文献値でも計算すると波長が虚数になってしまう、というのはわからないでしょうか？BK7というガラスを使ったのですが、文献値でも誤差を考えないと行けないということでしょうか？

回答No.2

hitokotonusi

測定値が誤差を含んでいるので、通常の連立方程式を解くようには解けないというのは#1さんの回答のとおりです。ただし、この式からA, f, λ0を決めるのは、非線形の最小二乗法を使う必要があり、課題としてはやや酷なように思えます。

ガラスの場合であれば、もう少し扱いやすい

1/(n^2-1) = -C [λ^(-2) - (λ0)^(-2) ]

という分散公式に従うことが知られています。この式なら、1次の最小二乗法で済みます。

参考： ヘクト『光学I』第4版 丸善 p.111

＞λ0が何の値かは明記されていませんでしたが

ほとんどの原子は紫外線の領域に電子による電磁波の共鳴吸収があり、
λ0はこの共鳴吸収の波長です。可視光の分散は、この紫外域の
共鳴吸収の裾を引っかけているものです。

お礼

回答ありがとうございます。

＞非線形の最小二乗法を使う必要があり
＞1/(n^2-1) = -C [λ^(-2) - (λ0)^(-2) ]
恥ずかしながら、前述の通り勉強不足のためか私にはnが一次の時といまいち違いがわかりません。と言いますか、最小二乗法自体もよくわかっておりません。誤差の伝播や算術平均とは違うのでしょうか・・・？参考資料の方、読んでみたいと思います。

＞ほとんどの原子は紫外線の領域に電子による電磁波の共鳴吸収があり、
＞λ0はこの共鳴吸収の波長です。可視光の分散は、この紫外域の
＞共鳴吸収の裾を引っかけているものです。
こちらも私の勉強不足でわかりませんが、キーワードを頼りに調べてみようと思います。ありがとうございました。

補足

書き忘れてしまいましたが、No.1の方のお礼の欄にも書きました文献値による理論値の値にも誤差の補正が必要なのでしょうか？

回答No.1

outerlimit

実験値（実験による測定値)には、必ず誤差があります

この誤差を　充分な考察をしないで扱うと　質問のような状況になります

複数の方程式（連立の)が、平行に近い状態で、誤差を無視すると　誤差による無意味な差が　意味を持つ形で連立方程式を解くことになります

質問のような場合には　同一条件で　複数の測定を行い　最小二乗法等で　誤差の影響を低減させる等の対応が必要です

質問の通りλが虚数になることはありえません

お礼

回答ありがとうございます。
今まで実験では誤差計算をきちんとやってこなかったので、恥ずかしながら最小二乗法というのが何かわかりません。
私の大学で使っているテキストで調べたところ、
(誤差)=0.6745*√{(Σδ^2)/n(n-1)}
という算術平均値の確率誤差というところに括弧付で最小二乗法とあったり、その更に後の方に「間接測定の最小二乗法」とあったり、上記の公式的なものとは別なのでしょうか？
また、インターネットや理科年表で調べた屈折率の値を代入しても虚数解が出てしまうのですが、これにも誤差を考えなければならないのでしょうか？