屈折率と波長と周波数の関係について

質問

はじめまして。
ちょっと困っているので助けてください。

屈折率は入射光の波長に依存しますよね？
一般的な傾向として、波長が長くなると
屈折率は小さくなりますよね？
それで、このことを式で説明しようとしたんですが、

屈折率は真空の光速と媒質中の光速の比なので、
n=c/v
媒質中の光の速度、位相速度は
v=fλ
で、周波数と波長に依存します。

ところが！波長と周波数は逆数の関係なので、
この二つの式を使ってしまうと
屈折率が波長に依存しないことになってしまうのです・・・。
どうかこのあたりの説明をおしえてくださいませんか。
よろしくお願いいたします。

回答No.2

Umada · ベストアンサー

ekisyouさん、改めまして初めまして。
ご指摘のようにfとνは全く同じものです。同じ物理量に異なる文字を使ってしまったのは私のミスです、申し訳ありませんでした。また「振動数」「周波数」の二つの言い方を用いましたがこれもどちらでも同じことです。ekisyouさんのこれまでのお考えで正しいです。

前回の回答をもう一度正しく書くと
--------
n=c/v
が屈折率の定義そのものである。真空中の光速cは不変であるからnが波長(または周波数)依存性を持つとしたら媒質中の光速vが周波数依存性を持つことになる。従ってこの式は周波数をfとして
n=c/v(f)
と表すべきものである。
二番目の式
v(f)=fλ
で、vに周波数依存性があることを考えるとfとλは厳密な反比例な関係でない。
--------
となります。大変失礼を致しました。

なお上記の式だけからでは「赤い光の方が紫の光より屈折率が小さくなる理由」は絶対に出てきません。
その理由を説明するためにはどうしても電場中での媒質の分極を考える必要があります。屈折の原因は既にご承知とのことですので、あとはその部分の理解を深めて頂くのみです。
(1)光が媒質中を通過する場合、周囲の媒質を分極させながら進む。
(2)可視光線の範囲であれば、周波数が高くなるほど分極の影響により光は進みにくくなる。
(3)(2)により光の速度が落ちる、ということは即ち屈折率が上がる、ということである。

(2)ですが、共振現象とのアナロジーで考えれば分かりやすいと思います。いまある物体を天井からひもで釣るし、それにさらに紐を付けて手で揺らすこととします。(A)ごくゆっくり揺らす場合は手にはほとんど力はかけなくて済みます。(B )ところが揺らす周期を短くするとだんだんと力が要るようになります。(C)さらに周期を短くして共振周波数に達すると急に力は要らなくなります。(D)そしてさらに揺らす周期を短くしようとすると、あたかもその錘に引張られるような感覚を受けます。(E)そしてさらにずっと周期を短くすると、錘はまったく動かずに錘と手を結んでいる紐だけが振動するようになります。
可視光線はちょうどこの中で(B)の領域になります。すなわち周波数を高くすると、それにつれて周囲の分極があたかも「粘り着く」ようになり、そのために媒質中の光の速度が落ちるのです。(もっとも、「粘り着く」なんて学問的な表現じゃないですね。レポートや論文でこんな表現をしたら怒られそう・・・)

こんな説明でよろしいでしょうか。

参考となりそうなページ：

「光の分散と光学定数の測定」
http://exciton.phys.s.u-tokyo.ac.jp/hikari/section2.htm
同、講義ノート(pdfでダウンロード)
http://exciton.phys.s.u-tokyo.ac.jp/kouginote/opt2k.html

"Kiki's Science Message Board"　この中の質問[270]
http://www.hyper-net.ne.jp/bbs/mbspro/pt.cgi?room=janeway

過去の議論例(既にご覧になっているかと思いますが)
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=140630

お礼

Umadaさま、ご丁寧な説明、ほんとにありがとうございます。
仕事の関係で、この問題を解決しなければならないのですが、
正直、どの理論から手をつけていいかわからず、
途方に暮れてました。

Umadaさんが回答で解明するための手法の方向性を
示してくださったので、あとはまじめに勉強するのみです！がんばります。
でも、大学のときにまじめにやっておけばよかった・・。（泣）

ほんとにありがとうございました。
それでは。

回答No.3

noname#11476

まず、波長が長くなると屈折率が小さくなると言う傾向は、何にでも当てはまるものではありません。可視光領域でみればガラス、プラスチックなどが該当しますが、全部ではありません。（逆の場合もあります）
ガラスなどの物質でこの傾向が見られる最大の理由は、紫外～真空紫外の領域に大きな共鳴周波数（吸収が最大となる所）があるためです。

ご質問の式を導出するには、この物質による光の吸収の式を立てて、その上で、その共鳴周波数を紫外にして上げると、答えが求まります。
物質の屈折率nは、
ｎ^2＝１＋χ
で表されます。ここで、χは電気感受率とよばれます。
この電気感受率χの意味は、光に対する物質（原子、分子など）の応答を表し、一般に光の周波数（波長）の関数となります。
( n=c/v から求めるのではなく、 nが求まり逆にvが求まるわけです。)

物質に光電場Eが来たときの分極Ｐは、
P = χE
と表される所から来ています。（さらにこのＰは電磁波を記述する大本の式であるMaxwell 方程式で使います)

つまり、Maxwell方程式->分極P->感受率->屈折率->光の速度vという流れです。

もっとも簡易的な導出方法は、一次元の調和振動子の強制振動の運動方程式を立てて解く方法（古典的取り扱い）が簡単と思われます。

お礼

mickjey2さま、はじめまして。
回答ありがとうございます。
たしか、他の質問にも回答されてた方ですよね。
何度も同じような質問に答えていただいて、恐縮です。

Maxwell方程式からの流れは、誘電体の本なんかに載ってますよね。
勉強しなおして、がんばってみます。
ありがとうございました。

回答No.1

Umada

最初の式
n=c/v
は屈折率の定義そのものですよね。ここに真空中の光速cは不変ですから、nが波長(または振動数)依存性を持つとしたら媒質中の光速vが振動数依存性を持つことになります。従ってこの式は振動数をνとして
n=c/v(ν)
と書くべきところです。
さて二番目の式
v(ν)=fλ
ですが、vに振動数依存性があることを考えるとfとλは厳密な反比例な関係でなく、νに依存してその積が若干変化することになります。
ekisyouさんのご質問の中で「ところが！波長と周波数は逆数の関係なので」という部分が誤り、ということになります。
この部分を直して式を逆に辿れば、屈折率の波長/周波数依存性はあってもおかしくないことがお分かりいただけると思います。

補足

Umadaさま、回答ありがとうございます。

できればもう少し教えていただきたいんですけど、
「振動数」と「周波数」は同じなんでしょうか？？
私は同じだと思っていたんですけど、なんか混乱してきました。

屈折率に波長依存性があるのはおかしくないと思うんですが、
私が提示した式で、
「入射光が赤い光のときの方が、紫の光のときより
屈折率が小さくなるのはなぜか？」というのは
説明できるのでしょうか。
以前このページで、同じような質問があったんですけど、
その時の回答者の方々の説明が、共鳴とか電場で振動とかの原理で
説明されていたので、よくわからなかったのです。
（屈折率の原理がそのへんにあるのは知っているのですが。）

ということで、よろしかったら、
もう少し説明の方、お願いいたします。お手数かけます。