Σ_[n=1,∞]１／ｎ^αの収束条件に付いて

質問

大学でほとんど数学を履修していなかったもので、無知な質問ですみません。現在、社会人であり公務員試験のため独学で勉強しております。

Σ_[n=1,∞]１/ｎ^αの収束条件についてお聞きしたいです。

解答では、
1)α≦0のとき
2)0＜α≦１のとき
3)α＜１のとき
で場合分けしています。
そこまでは分かるのですが、そこからy=x^-αとの大小関係で答を導いています（α=0のとき,α=1のときの解答は割愛）。

0＜α＜１のとき
∫[1,n]x^-αdx ≦Σ_[k=1,n-1]k^-α
よりΣ_[k=1,n]k^-αは発散

α＜１のとき
Σ_[k=2,n]k^-αx ≦∫[1,n]x^-αdx ＝(n^(1-α)-1)/(α-1)≦1/(α-1)
となりSnは上に有界であり、単調増大列となるため、収束する。

となっております。
分からないのは、
・なぜ0＜α＜１の時とα＜１の時とで、Σの範囲が違うのか。
・上に有界であり、単調増大列ならばなぜ収束するのか。
の２点です。

宜しくお願い致します。

回答No.1

33550336

＞・なぜ0＜α＜１の時とα＜１の時とで、Σの範囲が違うのか。
評価している積分値がαの値に応じて収束、発散するからです。
＞・上に有界であり、単調増大列ならばなぜ収束するのか。
これは実数の公理から直接導き出せる定理です。
まあどれを実数の公理とするのかによりますが…