四角形ＡＢＣＤの面積が最大

質問

円に内接する四角形ＡＢＣＤにおいて
ＢＤ＝５　ＣＤ＝３　角度Ｃ＝120
で四角形ＡＢＣＤの面積が最大になるとき、ＡＢとＡＣの長さを求めよ

という問題です。何を手がかりに進めるといいですか？

解説が手元になくてもう3時間は悩みました

回答No.7

take_5

簡単な問題は簡単に解こう。

先ほど書いた事をやってくと、△ＡＢＤが正三角形の時面積は最大になる事がわかる。
つまり、ＡＤ＝ＡＢ＝5であるから、今度はＡＣの長さを求めよう。

弧ＡＤに対する円周角より、∠ＡＢＤ＝∠ＤＣＡ＝60°。
ＡＣ＝aとして、△ＡＣＤに余弦定理を使うと、a＾2-3a-16＝0.　‥‥(1)　ところが、三角形の成立条件から、2＜a＜8　‥‥(2)
従って、(1)の2つの解のうち、(2)をみたすものが求める解。　結果は、a＝（3＋√73）/2　（≒　5.7‥‥）である。

回答No.6

katuoman

4で回答したものです。

sin(120-θ)=sin120cosθ-sinθcos120

とすれば大丈夫です。
ちなみに、cosθを求めるのは、sinθ^2+cosθ^2=1
を使えば求まるでしょう。

回答No.5

take_5

こんな簡単な問題に、何をゴチヤゴチャ書き込んでる回答者がいるんだろう？

△ＢＣＤの面積は定まるから、△ＢＣＤの面積はこの際無関係。△ＡＢＤの面積が最大になれば良い。
∠ＤＡＢ＝60°であるから、ＡＤ＝x、ＡＢ＝yとすると、△ＡＢＤ＝（1/2）*（xy）*（sin60°）＝（√3/4）*（xy）‥‥(1)となる。
一方、△ＡＢＤに余弦定理を使うと、x＾2＋y＾2-xy＝25　‥‥(2)となる。
つまり、(2)の条件の下で(1)の最大値を求めるだけ。
あとは簡単だろう。xとyの対称式になっているから、x＋y＝α、xy＝βと置けば、あとはエスカレーターという事になる。

回答No.4

katuoman

三角形ＢＣＤに正弦定理を使うと、角ＤＢＣが一つの値を持つ事が分かるはずです（変数にはなりません）
正確な角度は良く分かりませんがとりあえず角ＤＢＣが定数と分かったので、おのずと角ＢＤＣも定数である事が判明します。（三角形の内角のうち、他の二つが定数な為）

ということは、三角形ＢＣＤの形は固定されていて、どうにも変形できない事という事になります。

さて、また円に内接する四角形の対角の和は１８０度ですから、角Ａは６０度です。

そして、三角形ＡＢＤの面積を最大にするには、底辺ＢＤは５と決まっていますから、ＡからＢＤに下ろした垂線の長さ（高さ）が最大になるようにしてあげればいいはずなので、円の対象性を考慮に入れると、
ＡＢ＝ＡＤの二等辺三角形が三角形ＡＢＤの面積を最大にする形だと分かるかと思います。

さてここで、角Ａ＝６０だったはずですから、それも加味すると、
三角形ＡＢＤは正三角形であることが分かりますね。

ということで、ＡＢの長さは求められたはずです。

次にＡＣですが、三角形ＡＣＤに着目します。
角ＡＣＤは角ＡＢＤの円周角なので、６０度です。
角ＡＤＢは正三角形の内角なので６０度です。
角ＢＤＣは良く分かりませんが、
仮に角ＤＢＣ＝θとおくと、角ＢＤＣ＝６０－θ　と書ける事が分かると思います。

sinθの値は一番最初に書いた正弦定理を使えば求められるので、
これでθを式で使っても問題なく数値を求められるようになりました。

というわけで、角ＡＤＣ＝１２０－θ　ですから、

三角形ＡＣＤで余弦定理を使えるようになりましたので
（ＡＤ＝５　ＤＣ＝３　角ＡＤＣ＝１２０－θ　sinθ＝計算で求めてください）
これでＡＣの長さが出せるはずです。

こんな感じでしょうか。

お礼

角ＡＤＣ＝１２０－θ　とのことですが√3/2からθの値を引けばよいのですか?　いまいち基本が分かってないのでその辺教えてもらえませんか?

回答No.3

geb03703

ＡＯは正弦定理より。

角Ａは、円に内接する四角形より(１８０°－ 角Ｃ)でわかりますよ。

あとは、△ＡＢＤがどんな三角形の時に面積が最大になるでしょうねぇ。

ヒントは辺ＢＤは５から変えられないことかな。

回答No.2

R_Earl

ANo.1ですが、追記です。
図形を描くようにとアドバイスしましたが、
そのときに円もちゃんと描いて下さい(円に内接する四角形の問題なので)。
円が無いと解けなくなってしまいます。

また、図形を眺めるときには紙を回転させて
色んな見方をすることも大事です。
辺ABが下にくるように眺めたり、辺BCが下にくるように眺めたり、
辺CDが下にくるように眺めたりといった感じにです。

回答No.1

R_Earl

図形問題で大事なのは、実際に図を描くことです。フリーハンドで良いですが、
辺・線分の大きさの大小関係や、角度の大きさは正確に描いて下さい。
大きさが分からない辺や線分、角に関しては適当で良いです。
図中に辺や線分、角度の大きさを書き込むのも良いでしょう。
次に描いた図を眺め、どの部分が固定されていて、
どの部分が変形できるのかを見定めます。

まずBD = 5, CD = 3, ∠C = 120°になるように、
円に内接する四角形ABCDを書いてみましょう。

BD = 5となっていますが、線分BDは対角線です。
このBDを線で結んでみると、四角形ABCDは△ABDと△CBDに分けられているように見えます。

まず△CBDに着目します。
大きさが決まっているのはBD、CD、∠Cです。
でもこの3つが決まっているなら、BCの大きさも一意に決まりそうに感じませんか？
実際に、余弦定理を用いればBCの長さが一意に決まります。
つまり、△CBDの3辺の大きさは固定されている(大きさを変えられない)ことが分かります。
3編の大きさが固定されているということは、△CBDの形が固定されているということになります。
形が固定されているということは、△CBDの面積の値は固定されているということです。

結局、△CBDの面積の値は変えられません。
つまり、四角形ABCDを最大にするためには、残った△ABDの面積を最大にするしかありません。
なので△ABDの面積を最大にすることを考えます。
△ABDの面積が最大になるためにはどうしたらよいのかを考えて下さい。