確率

質問

rを整の整数とする。r枚ずつカードを重ねて2つの山Ａ，Ｂを作り、コインを投げて、表が出たらＡよ山から、裏が出たらＢの山から1枚カードを取り除く。この操作を繰り返して、Ａの山のカードがなくなった後で初めてコインの表が出るか、Ｂの山のカードがなくなった後で初めてコインの裏が出るとき、他方の山に残っているカードの枚数を「残りの枚数」とよぶことにする。ただし、カードが残っていなければ、「残りの枚数」は0とする。
（1）rを正の整数として、残りの枚数がkとなる確率Ｐ
（2）rを正の整数として、残りの枚数がkとなら2^(r-k) 円もらうとする。
等式　nＣr = n+1Ｃr+1 － nＣr+1 (n≧r+1)
が成り立つことを用いて、もらう金額の期待値Ｅをもとめよ。

（1）Ａの残りの枚数がkとするとき、
表：r-k　Ｂ：r　回出ればよいので、
Ｐ：2r-kＣr(1/2)^(2r-k)×1/2×2 = (2r-k)!/r!(r-k)!・(1/2)^(2r-k)
としたのですが、よいでしょうか？
（2）についての回答もお願いします。

回答No.1

kumipapa · ベストアンサー

＞　よいでしょうか？
よいです。

(2) について
(1) ができて(2)ができないのはなんかもったいないね。落ち着きましょう。
(1) より P(k) = 2r-kＣr (1/2)^(2r-k)
E = Σ(k=0,r) 2^(r-k)P(k)
　= Σ(k=0,r) 2r-kＣr (1/2)^r
= (1/2)^r Σ 2r-kＣr (1/2)^r

ここで、nＣr = n+1Ｃr+1 － nＣr+1 (n≧r+1) より、
　2rＣr = 2r+1Ｃr+1 - 2rＣr+1
2r-1Ｃr = 2rＣr+1 - 2r-1Ｃr+1
2r-2Ｃr = 2r-1Ｃr+1 - 2r-2Ｃr+1
・・・・
r+1Ｃr = r+2Ｃr+1 - r+1Ｃr+1
rＣr = r+1Ｃr+1
これを上から下まで両辺を全部たせば
Σ2r-kＣr = 2r+1Ｃr+1
∴
E = 2r+1Ｃr+1 (1/2)^r

お礼

そうですね、落ち着いて考えてみれば、できたんですね…。回答ありがとうございました。