確率

質問

有名な問題で、コインを2枚AB投げて、そのうちのAは表だった場合、Bのコインはどちらである可能性が高いか、という問題があります。そして、この答えは裏が2/3なのです。これは理解できているのですが、三枚の場合がわかりません。つまり、
コインを3枚ABC投げ、そのうちのAが表で、Bが裏だった場合、Cは何である可能性が高いか。ということです。教えてください。

回答No.2

adinat · ベストアンサー

条件付確率といいます。確率変数X,Yがあって、XがAという値（または値の集合）を取ったとき、YがBという値（または値の集合）を取る確率を、X=Aの元でのY=Bが起きる条件付確率と呼び、
P(Y=B|X=A)
と書きます。これを計算するときは、
P(X=A,Y=B)/P(X=A)
を求めます。つまりX=AかつY=Bが起きる確率を、X=Aが起きる確率で割る分けです。直感的にいって、X=Aが起きた場合のみを考えるのだから、全事象がX=Aに制限された確率を求める、という感覚です。

例に挙げられた問題、二枚のコインの場合は、
P(B=裏|A=表)=P(A=表,B=裏)/P(A=表)=(1/4)/(1/2)=1/2
であって、決して2/3ではありません。問題文を誤解されていると思われます。

また三枚のコインだと
P(C=表|A=表,B=裏)=P(A=表,B=裏,C=表)/P(A=表,B=裏)=(1/8)/(1/4)=1/2
同様に
P(C=裏|A=表,B=裏)=…=1/2
なのでともに等しく1/2です。

ちなみにコイン二枚を投げて、そのうち少なくとも一方が表であったとき、少なくとも一方が裏である確率は？という問題なら2/3になります。
P(A=裏 or B=裏|A=表 or B=表)=P({A=表,B=裏}or{A=裏,B=表})/P(A=表 or B=表)=(1/2)/(3/4)=2/3
という分けです。Aが表であったとき、Bが裏、と似ているようで違うのです。最近教えてgooでのブームのようで、よくこの手の問題が論争になっているようですが、とにかく問題文を正確に数式の言葉で書きなおすことが大事です。

お礼

ありがとうございます。そうです、私が言いたかったのは少なくても一方が表であったときのことです；すみません。それで、私が聞きたかったことは、コインを3枚投げて、そのうち少なくても2枚のコインが表と裏であったとき、残りのひとつは何である可能性が高いかということです；説明不足ですみません

回答No.4

adinat

この手の問題は大変にデリケートなのです。たがら僕が言葉巧みに言い換えを行ったことに十分注意してください。

「二枚のコインを投げて、少なくとも一方が表だったときに、少なくとも一方が裏である確率は？」
のように。

そこであなたの挙げた問題を次のように翻訳することにします。

「三枚のコインを投げて、少なくとも一枚ずつ表と裏を含んでいるとする。このとき表が二枚出る確率は？また裏が二枚出る確率は？」

今の場合はどのように考えても一意的な答えが出ると思いますが、少なくとも～のときに、もう片方は？というような言い方は非常に危険です。たとえば、{表,表}というようなケースに、少なくとも一方は表であるが、他方は？といわれたとき、どちらが他方なのか判然としないのです。そういう曖昧さがあって、しかもそのせいで異なる解釈があり異なる結果を得ることもありえます。だから、少なくとも二枚が表、裏であるとき、残りの一枚は？などという言い方はなるべく改めて欲しい。というかそうするべきだ、というのが僕の主張です。

で、上のような解釈を行えば、
P(表が二枚|表と裏を含む)=P(表が二枚,裏が一枚)/{1-P(表が三枚)-P(裏が三枚)}=(3/8)/(6/8)=1/2
P(裏が二枚|表と裏を含む)=P(裏が二枚,表が一枚)/{1-P(表が三枚)-P(裏が三枚)}=(3/8)/(6/8)=1/2
となって、どちらも等しいです。まあ直感的に表と裏について対称だから、確率は等しくなりそうですけれどね。別解ですが、
P(表が二枚|表と裏を含む)=P(表=2枚|表=1枚 or 表=2枚)=P(表=2枚)/{P(表=1枚)+P(表=2枚)}=(3/8)/(3/8+3/8)=1/2
などとやってもよいです。

せっかくなのでひとつ問題を出して回答を終えます。
「五枚のコインを投げて、少なくとも表が二枚、裏は一枚出ているとする。このとき表が四枚、三枚、二枚である確率をそれぞれ求めよ」

答えは、それぞれ1/5、2/5、2/5です。

お礼

ありがとうございます。よくわかりました。

回答No.3

dara002

コインABCそれぞれ表・裏が出るのはそれぞれ独立した事象です
（あるコインの表・裏の結果が他のコインの表・裏の結果に影響を及ぼしません）
よって、あるコインが表・裏を取る確率は他のコインの結果にかかわらず1/2です

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

held

○は表、×は裏。

A 　B 　C
○　○　○
　　　　×　
　　×　○
　　　　×

×　○　○
　　　　×　
　　×　○
　　　　×
Cが何である確立というのは等しいのではないでしょうか。
表を書かなくてもわかるとは思いますが。

お礼

ありがとうございます。