【式の展開】間違えてますか？ ご教示をお願いします

質問

ランキン氏の座靴の式を変形して
ｄ＾2^3+ｇｄ＾2＾1+h=0
という式を得たのですが
これを「d=」という形にしたくて…

試しにf=0として+fｄ＾2^2の項を足し
ｄ＾2^3+fｄ＾2^2+ｇｄ＾2＾1+h=0
とし
立体完成して2次式の解の公式に当てはめ…

と　色々してみたのですが
d(ｄは直径)が正の実数解に
どうも収まりません　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(>_<)

どこか間違えて展開しているせいだと良いのですが、
自分で確認する範囲では　間違えがもう見つけられません

自分ではもう飽和寸前です…
………
……
…

お助けください　　m(_ _)m

以下その展開手順です　(※：長いです　お許しください)

ｄ＾2^3+fｄ＾2^2+ｇｄ＾2＾1+h=0
と、いう式がある

これを立体完成して、
(d^2+f/3)^3+(g-(f^2)/3)(d^2+f/3)+g+2/27*f^3-fg/3=0
仮に
(d^2+f/3)^3をy
g-(ｆ^2)/3を3p
g+2(f^3)/27*f^3-fg/3を2qとおくと
y^3+3py+2q=0と変形できる。
更に此所で
Y=u+v(ただしu≠-v)の時
U^3+v^3=-2q
U^3v^3=-p
とできる。
二次方程式の解の公式より
U^3=-q+√q^2+P^3
V^3=-q-√q^2+P^2
という2式が得られる
このuの解とvの解は
U1=(-q+√(q^2+P^3))^(1/3)
U2=((-1+i√3)/2)((-q+√(q^2+P^3))^(1/3))
U3=((-1-i√3)/2)((-q+√(q^2+P^3))^(1/3))
V1=(-q-√(q^2-P^3))^(1/3)
V2=((-1+i√3)/2)((-q+√(q^2-P^3))^(1/3))
V3=((-1-i√3)/2)((-q+√(q^2-P^3))^(1/3))
となる

yは
y=U1+V1
y=U2+V3
y=U3+V2
なので、これらを展開すると
y=(-q+√(q^2+P^3))^(1/3)+(-q-√(q^2-P^3))^(1/3)
y=((-1+i√3)/2)(-q+√(q^2+P^3))^(1/3)+((-1-i√3)/2)(-q+√(q^2-P^3))^(1/3)
y=((-1-i√3)/2)(-q+√(q^2+P^3))^(1/3)+((-1+i√3)/2)(-q+√(q^2-P^3))^(1/3)
(※：此所までは「物理のかぎしっぽ」さんの
　　　三次方程式の解の公式ページを　丸々コピーできている（？）と思います…
　　　できているのかな？　汗
　　　「物理のかぎしっぽ」さんの掲載に感謝)
http://hooktail.sub.jp/algebra/CubicEquation/

此所でypqを上式に戻す前に、これらにf=0を適応する。
y=(d^2+f/3)^3
=d^6
3p=g-(ｆ^2)/3
p=(g-(ｆ^2)/３)/３
　=g/３
2q=g+2(f^3)/27*f^3-fg/3
q=（g+2(f^3)/27*f^3-fg/3）/２
　=g/２

これを先の式に戻すと
d^6=(-(g/２)+√((g/２)^2+(g/３)^3))^(1/3)+(-(g/２)-√((g/２)^2-(g/３)^3))^(1/3)
　　　=(-g/２+√(g^2/４+ｇ^3/２７))^(1/3)+(-g/２-√(g^2/４-g^3/２７))^(1/3)
　　　=(-g/２+√(g^2/４+４ｇ^2/４*ｇ/２７))^(1/3)+(-g/２-√(g^2/４-４g^2/４*ｇ/２７))^(1/3)
　　　=(-g/２+√(（g^2/４)(１+４ｇ/２７)))^(1/3)+(-g/２-√((g^2/４)(１-４ｇ/２７)))^(1/3)
　　　=(-g/２+√（g^2/４)*√(１+４ｇ/２７))^(1/3)+(-g/２-√(g^2/４)*√(１-４ｇ/２７))^(1/3)
　　　=(-g/２+g/２*√(１+４ｇ/２７))^(1/3)+(-g/２-g/２*√(１-４ｇ/２７))^(1/3)
　　　=(-(g/２)(１+√(１+４ｇ/２７)))^(1/3)+((-g/２)(１+√(１-４ｇ/２７)))^(1/3)
　　　=(-(g/２)(１+√(１+４ｇ/３/９)))^(1/3)+(-(g/２)(１+√(１-４ｇ/３/９)))^(1/3)
　　　=(-(g/２)(１+√((９+４ｇ/３)/９)))^(1/3)+(-(g/２)(１+√((９-４ｇ/３)/９)))^(1/3)
　　　=(-(g/２)(１+√(((２７+４ｇ)/３)/９)))^(1/3)+(-(g/２)(１+√(((２７-４ｇ)/３)/９)))^(1/3)
　　　=(-(g/２)(１+√((８１+１２ｇ)/９＾2)))^(1/3)+(-(g/２)(１+√((８１-１２ｇ)/９＾2)))^(1/3)
　　　=(-(g/２)(１+１/９√(２７+１２ｇ)))^(1/3)+(-(g/２)(１+１/９√(２７-１２ｇ)))^(1/3)

d^6=((-1+i√3)/2)(-(g/２)+√((g/２)^2+(g/３)^3))^(1/3)+((-1-i√3)/2)(-(g/２)+√((g/２)^2-(g/３)^3))^(1/3)
　　　=((-1+i√3)/2)(-g/２+√((g/２)^2+g^3/２７))^(1/3))+((-1-i√3)/2)(-g/２+√((g/２)^2-g^3/２７))^(1/3)
　　　=((-1+i√3)/2)(-g/２+√((g/２)^2+g^2/４*４ｇ/２７))^(1/3)+(-1-i√3)/2)((-g/２+√((g/２)^2-g^2/４*４ｇ/２７))^(1/3)
　　　=((-1+i√3)/2)(-g/２+√((g/２)^2+(g/２)＾2*４ｇ/２７))^(1/3)+((-1-i√3)/2)(-g/２+√((g/２)^2-(g/２)＾2*４ｇ/２７))^(1/3)
　　　=((-1+i√3)/2)(-g/２+√((g/２)^2+(g/２)＾2*４ｇ/２７))^(1/3)+((-1-i√3)/2)(-g/２+√((g/２)^2-(g/２)＾2*４ｇ/２７))^(1/3)
　　　=((-1+i√3)/2)(-g/２+√(((g/２)^2)(１+４ｇ/２７)))^(1/3)+((-1-i√3)/2)(-g/２+√(((g/２)^2)(１-４ｇ/２７)))^(1/3)
　　　=((-1+i√3)/2)(-g/２+√(g/２)^2*√(１+４ｇ/２７))^(1/3)+((-1-i√3)/2)(-g/２+√(g/２)^2*√(１-４ｇ/２７))^(1/3)
　　　=((-1+i√3)/2)(-g/２+g/２*√(１+４ｇ/２７))^(1/3)+((-1-i√3)/2)(-g/２+g/２*√(１-４ｇ/２７))^(1/3)
　　　=((-1+i√3)/2)(-(g/２)(１+√(９/９+４ｇ/３/９)))^(1/3)+((-1-i√3)/2)(-(g/２)(１+√(９/９-４ｇ/３/９)))^(1/3)
　　　=((-1+i√3)/2)(-(g/２)(１+√((９+４ｇ/３)/９)))^(1/3)+((-1-i√3)/2)(-(g/２)(１+√((９-４ｇ/３)/９)))^(1/3)
　　　=((-1+i√3)/2)(-(g/２)(１+√(((２７+４ｇ)/３)/９)))^(1/3)+((-1-i√3)/2)(-(g/２)(１+√(((２７-４ｇ)/３)/９)))^(1/3)
　　　=((-1+i√3)/2)(-(g/２)(１+√(((２７+４ｇ)/３)/９)))^(1/3)+((-1-i√3)/2)(-(g/２)(１+√(((２７-４ｇ)/３)/９)))^(1/3)
　　　=((-1+i√3)/2)(-(g/２)(１+√((８１+１２ｇ)/９＾2)))^(1/3)+((-1-i√3)/2)(-(g/２)(１+√((８１-１２ｇ)/９＾2)))^(1/3)
　　　=((-1+i√3)/2)(-(g/２)(１+１/９√(８１+１２ｇ)))^(1/3)+((-1-i√3)/2)(-(g/２)(１+１/９√(８１-１２ｇ)))^(1/3)

d^6=((-1-i√3)/2)((-(g/２)+√((g/２)^2+(g/３)^3))^(1/3))+((-1+i√3)/2)((-(g/２)+√((g/２)^2-(g/３)^3))^(1/3))
=((-1-i√3)/2)(-(g/２)(１+１/９√(８１+１２ｇ)))^(1/3)+((-1+i√3)/2)(-(g/２)(１+１/９√(８１-１２ｇ)))^(1/3)

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

代数方程式の解を表示する式は、煩雑になりがちで、
考察は、解公式側でするよりも、方程式側でするほうが
見通しがよいことが多い。
殊に、実数解の有無やその存在範囲については、そう。
…というようなことは、「二次方程式の解の分離」
のタイトルで、中学校で教わったはずです。

質問の方程式は、F(dd)=0 ただし F(x)=xxx+gx+h
という形をしています。
g＞0 であれば、F'(x)=3xx+g＞0 ですから、
F(x) は極値のない単調増加な三次関数であり、
F(x)=0 となる実数 x は、丁度一個あることが解ります。
それが x＞0 の範囲にあるかどうかは、F(0) の 正負で判りますね。
h＜0 のとき x＞0、h=0 のとき x=0、h＞0 のとき x＜0 です。
その x に対して d=±√x ですから、
もとの方程式に正の実数解 d があるなは h＜0 のときだと解ります。
g の値は、実数解の有無には影響しません。

補足

間違いがあれば ご教授頂けるでしょうから、
お話の方向性から察っするに、
式の展開自体には
残念ながら　間違いはなかった
と、いうことでしょうか？

回答No.1

Tacosan

ｄ＾2^3 ではなんのことかわからないのえ, ちゃんと括弧を付けないとダメだね. d^(2^3) と思っていいの?

あと, この方針でいくなら「2次の項」を消してから処理しているので, f を追加した意味は全くない.

さておき, 「d(ｄは直径)が正の実数解にどうも収まりません」というのはどうやって確認したんですか?

お礼

早速のお心配りに 感謝します。
起こし頂き 有難うございます。

さて、(g^2)^3が わたしたちの意図したところでした。

累乗表記には 注意が確かに必要だと 分かれました。
有難うございます。

ところで、
gも実は正の実数なのです。
式より、凡そ6.75位を超えると　式中のどこかが虚数に落ちると思います。

gは実は一つ既に分かっている値がありまして、
凡そですが今回、0.76位なのです。

これを式に当てはめた時、マイナスの値が出て
それで初めて気付きました。

で、6も入れてみましたが　マイナスなのなので、そこで凍っちゃいました。

gの実効値は恐らく1を大きく超えないものと思いますので、
愕然としてしまいました。

何か正の実数の中に留める手立てはないでしょうか

このクラスになると、
殆ど数学的手立てを持ってないもので
困ってます。

ご教示をお願いします。