平面上の10個の点を、互いに重ならないいくつかの単位円板で覆う

質問

平面上からどのように１０点を選んだとしても、
いくつかの単位円板を互いに重ならないように配置することで、
その全てを覆うことができる

上記のことの証明が、
http://puz.hp.infoseek.co.jp/hirameki/suuri_ans4.html
によると、以下のようになるそうなのですが、よく理解できません。
証明を分かりやすく教えていただけないでしょうか？

---------------------------------------------------------
コインが蜂の巣状にびっしりと貼り付けられたシートを想像してください。
このときシート全体におけるコインの占める面積の割合を計算すると約90.69%です。
それゆえ、平面上に置かれたある点に対してこのシートを無造作に被せると、
その点がコインによって覆われる確率は90.69%ということになります。

一方で、もし仮に、どうやってもこのシートで全てを覆うことができないような１０個の点の配置が存在したならば、それら各点がコインによって覆われる確率は90%以下でなければなりません。このことは上で示した事実に反します。

従って、そのような配置は存在しません。

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

勉強熱心ですねえ。頭が下がります。
　さて、鳩の巣論法のバリエーション。ご質問の論法が自明だと思う人にとっては、これ以上説明しろと言われても同じことを繰り返すしかできないものかも知れません。
　で、実はstomachmanも、もやもやを感じます。これはどうやら、確率を言うための基本的仮定である「同等性の仮定」が明示されないままに、ただ「無造作に被せる」の一言で済ませているのが気に入らないのだろうと思います。
　てことは逆に言えば、この話から確率という概念を消し去るには（証明のエレガントさを台無しにすることになりますが）、単に空間と測度を明示すれば良いんじゃないでしょうか。

(1) 「平面上に置かれたある点に対してこのシートを無造作に被せると、その点がコインによって覆われる確率は90.69%」
ってのは、個々の点についての話。だから、逆にシートを固定しておいて、そのシートの上に点をひとつ置くと思えばいいんで、これなら誰でもナットクする。
(2)「もし仮に、どうやってもこのシートで全てを覆うことができないような１０個の点の配置が存在したならば、それら各点がコインによって覆われる確率は90%以下でなければなりません。」
って、こっちは同時に複数の点を考えている訳ですから、そう簡単には納得できないという方がまともな感覚のようにも思えます。

　コインの直径を1とします。平面に原点Oと、互いに120°で交差する単位ベクトルa,b,cを決めます。シートにも単位ベクトルsを決めます。すると、シートを載せた時、aとsのなす角度α∈[0,2π)が決まる。そして、コインのうちのひとつの中心と平面の原点を結ぶベクトルを-αだけ回転した物をmとすると、m=Aa+Bb+Cc (A+B+C=0、A,B,C∈[0,1) )と表されるようなコインがひとつ存在する。（いや、両端が含まれるかどうか、という細かい話は忘れることにして。）そうすると、X=[0,2π)×{<A,B,C>|A+B+C=0、A,B,C∈[0,1)}という空間の中に自然な測度を入れて、ルベーグ積分を考えることができる。
　そこで、(1)の場合、Xから{0,1}への関数で、
f(x)=シートが点を覆うなら0、さもなくば1
というものを考えると、f(x)は
F={x|x∈X ∧ シートが点を覆うようなx}
というXの部分集合Fのmembership functionであって、∫f(x)dx/∫dx (積分範囲はx∈X)は、三角形{<A,B,C>|A+B+C=0、A,B,C∈[0,1)}の面積に対する、コインの隙間の形をした図形（とんがった三角）の面積の比になる。

　一方(2)の場合、点に名前を付けて点1, 点2, … ,点10とする。で、
f(n,x)=シートが覆う点の個数がn以上なら0、さもなくば1
を考えると、これは
F(n)={x|x∈X ∧ シートがn個以上の点を覆うようなx}
という部分集合を表す。で、(2)は
F(10)=φ
であると主張している、って訳です。このときに、
g(j, x)=シートが点jを覆うなら0、さもなくば1　(j=1,2,...,10)
を考えた時、これが満たすべき性質として、
∀j(j∈{1,2,…,10}→∫g(j,x)dx/∫dx ≧ 1/10)
が言えるかどうか。

　「直感的に自明でしょ？」に首肯できないのなら、これを検討すれば良さそうです。

回答No.4

SortaNerd

No2です。よく考えたら分かりました。

どうもこの問題で考えているのは確率ではなく場合の数なのではないかなと思います。
以下その考え方で書きます。

・10個の点に番号をつけます。
・コインの置き方のうち、蜂の巣状コインシートで表せる置き方のみを考えます。
・蜂の巣状コインシートの全置き方の場合の数を考えます。(当然無限通りですから「数」と言っていいのかは分かりませんが)
・シートの全置き方の数のうち、点1を覆わない置き方の数を考えます。
全体の置き方の数の90.69%は点1を覆うので、求める置き方の数は全体の9.31%です。
・同様に、点2～点10を覆わない置き方の数も全体の9.31%づつです。
・10個の点のうち少なくとも1つを覆わない置き方の数は、最大でも、
点1を覆わない置き方の数 + 点2を覆わない置き方の数 + … + 点10を覆わない置き方の数 = 93.1%
です。
・100%より少ないので、鳩の巣穴原理より、10個の点全てを覆う置き方は存在します。

回答No.2

SortaNerd

ここで聞くより、そのサイトの掲示板で聞いた方が良いと思います。

なお、私にも理解できません。

回答No.1

chie65536

＞それら各点がコインによって覆われる確率は90%以下でなければなりません。

「１０個中、必ず１個の点が露出するならば、各点における覆われる確率は９０％である」ってのは判りますね。

つまり「１０個中、必ず１個以上の点が露出するならば、各点における覆われる確率は９０％以下である」と言う事です。

なので「必ず１個以上の点が必ず露出する」と「覆われる確率は９０％以下」は、常に同時に成り立ちます。

片方が成り立たないなら、もう片方も成り立ちません。

つまり「覆われる確率が９０％以下」が否定されたならば「必ず１個以上の点が必ず露出する」も否定されます。つまり「全部隠せる可能性がある」と言う事。

コインの位置は自由に配置出来るので、もし「全部隠せる可能性がある」なら「コインを移動させ、全部隠れるようにズラす事が出来る」と言う事です。つまり「コインの配置には、全部隠れるようにする配置が１つ以上存在する」って事で、それは「その全てを覆うことができる」と言う意味と同じです。