大学の数学 点集合基礎

質問

以下の問題の解答をどのように記述すればいいかわかりません。

点aが集合Aの内点ならU_ε(a)⊂AとなるU_ε(a)の各点はすべてAの内点であることを示せ。

回答No.1

jcpmutura

Xを距離空間
dをその距離
a∈X
ε>0
U_ε(a)={x∈X|d(x,a)<ε}
とする
A⊂X

点aが集合Aの内点で
U_ε(a)⊂A
となる
U_ε(a)
の各点を
b
とする
------------------------------→(注1)
b∈U_ε(a)={x∈X|d(x,a)<ε}
だから
d(b,a)<ε
だから
0<ε-d(b,a)
だから
δ=ε-d(b,a)
とすると
δ>0
だから
------------------------------→(注2)
x∈U_δ(b)
とすると
d(x,b)<δ
d(x,a)≦d(x,b)+d(b,a)<δ+d(b,a)=ε-d(b,a)+d(b,a)=ε
だから
x∈U_ε(a)
だから
U_δ(b)⊂U_ε(a)⊂A
だから
bはAの内点である

(注1)
b∈A
U_δ(b)⊂A
となる正実数
δ>0があるとき
bをAの内点という
]のだから
bがAの内点である事を示すためには
[
b∈A
U_δ(b)⊂A
となる正実数
δ>0がある
]事を示せばよい

(注2)
[
xがBの任意の要素(x∈B)ならば
→
xはCの要素(x∈C)となる
とき
B⊂C
という
]のだから
U_δ(b)⊂U_ε(a)を示すためには
x∈U_δ(b)→x∈U_ε(a)
を示せばよい