空間の点の証明問題

質問

空間にｎ(≧2)個の点A1,A2,・・・Anが次の条件を満たすように配置されている
どの2点を結ぶ線分上にもほかの点がなくこれらすべての線には向きがつけられている。
このとき適当な1点AkをとればAkを起点として指定された向きに進んでAk以外のn-1個の点に直接にまたは1点を経て間接に到達できることを証明せよ

という問題なのですが、こういう問題は解いたことがなく自分が持っているチャート等にも類題がないため取っ掛かりがわからなく困っております。この空間はある特定の図形になるのでしょうか？何かしらのヒントでもいただければ助かります。宜しくお願いします

回答No.1

shion121 · ベストアンサー

数学的帰納法（と、イメージとしてベクトル）を使ってはどうでしょうか？

(i)n = 2のとき
明らかに成立するAkは存在

(ii)n=kのとき、成立する点Axが存在するとすると、n=k+1のとき

まず、n = kのとき、点が三種類存在します。
Axと
Axから直接到達できる点（Ayとします）
Axから直接到達できないので、Ayのいずれかを経由する点(Azとします)

イメージでは、
Ax→Ay→Az→Axというループが出来る絵がかけませんか？（もちろんそれぞれ沢山ありますが、まとめて書いたイメージ図です）

さて、よって、n = k+1のときはAk+1を入れて４種類の点がある。これをイメージしてください。

その上で場合わけをしてみましょう。

(1)Ax→Ak+1
という向きがあるならば、明らかに成立

(2)Ax→Ay→Ak+1
という風に、「Ayのいずれか（一個あればよい）からAk+1に向かう線があれば」成立

ここまでは簡単だと思います。(1)(2)の場合ともに、Axが起点となります。

(3)AxからもAyからもAk+1に向かう線が無い場合
＊さっきと違って、AyとAk+1を結ぶ「全て」の線が全部Ayを向いている場合です。

残った、Azを考えに入れましょう。
(3-1)Ak+1→Az
(3-2)Ak+1←Az
という場合がありますが、共に、Ak+1が起点となります。
(3-1)のようなAzの点は、Ak+1から直接いけます。
(3-1)のような場合でも、Ak→Ay→Azといけます。

よって、全ての場合に関して成立することがいえました。

以上より、証明できました。

回答No.2

shion121

すいません、いくつか説明の足りないところがありましたが、
Axは、n=kのとき起点として成り立つ点のことです。

数学的帰納法で、kを使うことが多いので、kを使っています。起点のAkと混同してしまうような書き方をしてしまって申し訳ありませんペコリ(o_ _)ｏ))