制御工学における無駄時間要素をパデ近似(3次/3次)したときのランプ応答について

質問

皆さんよろしくお願いいたします。
標題の時間応答を求めようとしています。
無駄時間要素を無駄時間Lとすると伝達関数はG(s)=e^(-Ls)と表わせます。
この伝達関数をパデ近似(3次/3次)すると次式で表わせます。
e^(-Ls)={1-(Ls)/2+(L^2*s^2)/10-(L^3*s^3)/120}/{1+(Ls)/2+(L^2*s^2)/10+(L^3*s^3)/120}
この分母と分子の3次方程式を解くと1つの実根aと2つの虚根σ±jωが得られます。
すると上式は次式で表わせます。
G(s)={(s-a)(s-σ-jω)(s-σ+jω)}/{(s+a)(s+σ-jω)(s+σ+jω)}
この場合のランプ応答r(t)={G(s)/s^2}を求めようとしております。
このr(t)の計算結果を計算で求めたご経験のある方がいらっしゃいましたら、
計算方法と結果をご教示いただきたくお願いいたします。
小生の不足している経験でできることして、部分分数に展開したり
留数定理を用いて計算しようとしておりますがうまくいきません。

回答No.14

noname#101087 · ベストアンサー

>多項式の正負をどのように判定されているのか.....

単純な目視に過ぎません。
有理式のままではゴチャゴチャして焦点が定まらないので、分子多項式だけ書き出してみましょう。

L=1のとき、原式を因数分解。
　　-(s^3/120) + (s^2/10) - (s/2) + 1 = -(s-a)(s^2-bs+c)/120
この両辺に 120 を乗算すれば、
　　-s^3 + 12s^2 - 60s + 120 = -(s-a)(s^2-bs+c)　　(ac=120)

一方、mathstudy さんの因数分解の結果は、
　　s^3 - 12s^2 + 60s - 120 = (s-a)(s-σ-jω)(s-σ+jω) = (s-a)(s^2-bs+c)
これは原式を正負逆転したものですね。

お礼

ご回答頂きありがとうございます。
返信遅くなり申し訳有りません。
ご指摘頂いた分子式で眼が覚めました。
もっとも単純なミスをしていたわけですね。
求めようとしたランプ応答が描けました。
ありがとうございました。
結局小生質問の解は以下のようになりました。
e^(-Ls)={1-(Ls)/2+(L^2*s^2)/10-(L^3*s^3)/120}/{1+(Ls)/2+(L^2*s^2)/10+(L^3*s^3)/120}
分母分子の３次式をそれぞれカルダノの方法でとくと１つの実根と
２つの虚根（共役複素数）が得られる。これらを、複素平面上で
分母は左半面、分子は右半面で分母分子は左右対称であることから
一般解を実根a、複素根をσ±jωとおく、分子多項式の係数の正負に
注意すると伝達関数は次のようにおける。
G(s)=-(s-a)(s-σ-jω)(s-σ+jω)/(s+a)(s+σ-jω)(s+σ+jω)
ランプ応答をr(t)とするとr(t)=L^-1[G(s)/s^2]となる。ここで
G(s)/s^2={-(s-a)(s-σ-jω)(s-σ+jω)}/{s^2(s+a)(s+σ-jω)(s+σ+jω)}
　={(s-a)((s-σ)^2+ω^2)}/{s^2(s+a)((s+σ)^2+ω^2)}
　=A/s+B/s^2+C/(s+a)+{D(s+σ)+Eω}/{(s+σ)^2+ω^2)}
　についてA,B,C,Dの各係数を部分分数展開して求める。
　上式を満たす連立方程式は次式のとおり。
　A＋C+D=0
　(2σ+a)A+B+2σC+(a+σ)D+ωE=-1
　(σ^2+ω^2+2aσ)A+(2σ+a)B+(σ^2+ω^2)C+aσD+aωE=2σ+a
　a(σ^2+ω^2)A+(σ^2+ω^2+2aσ)B=-(σ^2+ω^2+2aσ)
　a(σ^2+ω^2)B=a(σ^2+ω^2)
　ここでσ^2+ω^2=Xとおくと上記連立方程式の答えは次のとおり。
　A=-2(X+2aσ)/(aX)
　B=1
　C=2(X+a^2+2a)/{a(X+a^2-2aσ)}
　D=-4σ(X-a^2+2aσ)/{X(X+a^2-2aσ)}
　E=4σ((a^2)*σ+2aX-2aσ^2-σX)/{ωX(X+a^2-2aσ)}
　これを次式に代入することで得られる。
　L^-1[G(s)/s^2]=A+B*t+C*EXP(-at)+D*EXP(-σt)cos(ωt)＋E*EXP(-σt)sin(ωt)

回答No.3

noname#101087

乗りかかった船です。
誤算訂正を兼ねて、もよりの船着場まで。

まずは誤算訂正。
　　A = -10
　　B = 3-j
　　C1 = 4
　　C2 = -1

これを使い、
　　r(t) = -t + 4 -10*exp(-t) +2*exp(-t)*{3*cos(t) - sin(t)}
を EXCEL に描かせてみた。
遅延式(オールパス関数)がいい加減なので、立ち上がり前で若干波打ちますが、ラムプを時間シフト(およそ4)したような応答。
(オールパス関数に Beesel 多項式でも使えば、もっと滑らかな立ち上がりになるでしょう。奇数次なので、極性は反転してます)

回答No.2

noname#101087

ネットの神「Laurant ではないぞよ。Laurent じゃ！」
小生「ハハアーッ！」

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>ローラン級数 - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%A9%E3%83%B3%E5%B1%95%E9%96%8B

回答No.1

noname#101087

>G(s)={(s-a)(s-σ-jω)(s-σ+jω)}/{(s+a)(s+σ-jω)(s+σ+jω)} この場合のランプ応答r(t)={G(s)/s^2}を求めようとしております。....

部分分数展開が山場のようです。その一例。

　　F(s) = G(s)/s^2 = (s-1)(s-1-j)(s-1+j)/{(s+1)(s+1-j)(s+1+j)s^2}　　……(1)
　　　　　= A/(s+1) + B/(s+1-j) + B~/(s+1+j) + C1/s + C2/s^2　　……(2)

まず C2 を求める。
　　C2 = [(s^2)*F(s)]_s=0 = -1
　　差し引き勘定。
　　E(s) = F(s) - C2/s^2 = (2s^2+8)/{(s+1)(s+1-j)(s+1+j)s}

あとは、E(s) の部分分数展開。
　　E(s) = A/(s+1) + B/(s+1-j) + B~/(s+1+j) + C1/s　　……(3)
　　(B~ は B の共役複素数)
たとえば (3) に (s+1) を乗じたあと、s=-1 を代入して A を求める。
　　A = [(s+1)*E(s)]_s=-1 = -10
同様に、
　　B = [(s+1-j)*E(s)]_s=<-1+j> = -4+2j
　　C1 = [s*E(s)]_s=0 = 4

一般論については「Laurant 展開」を検索・参照のほどを..... 。

お礼

ご回答頂きありがとうございます。
結果のランプ応答についてエクセルでのご確認まで頂きありがとうございます。
しかし小生の質問が悪く、申し訳有りません。
小生が求めたいのは、むだ時間要素の3次/3次のパデ近似した
e^(-Ls)={1-(Ls)/2+(L^2*s^2)/10-(L^3*s^3)/120}/{1+(Ls)/2+(L^2*s^2)/10+(L^3*s^3)/120}
の一般解のランプ応答を求めたいのです。
今分かっているところは、以下のとおりです。

上式を分母=0、分子=0とし3次方程式をカルダノ法でエクセルで
解くと、1つの実根aと2つの虚根σ±jωが得られることが分かりました。
しかも分母の根（極）と分子の根（零点）を比較すると
複素平面上で極が左半面、零点が右半面で左右対称になります。
そこで一般化した解は
G(s)={(s-a)(s-σ-jω)(s-σ+jω)}/{(s+a)(s+σ-jω)(s+σ+jω)}
とおけるところまでは分かりました。
このとき3次の各係数を代入すると上式の解を求めるエクセル式
は次の計算方法で行いました。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3943927.html
一例としてL=1のとき
分母の根は
x1=-4.6443707092516、x2,x3=-3.67781464537391±3.50876191956745i
分子の根は
x1=4.644371011781658、x2,x3=3.677814734101803±3.508761733998084i
となります。

ランプ応答なので
G(s)/s^2={(s-a)(s-σ-jω)(s-σ+jω)}/{s^2(s+a)(s+σ-jω)(s+σ+jω)}
={(s-a)((s-σ)^2+ω^2)}/{s^2(s+a)((s+σ)^2+ω^2)}
=A/s+B/s^2+C/(s+a)+{D(s+σ)+Eω}/{(s+σ)^2+ω^2)}
として計算を行っておりますが、膨大な計算に悪戦苦闘しており
もっと簡単な方法があればと悩んでおります。
なにか良い智慧がございましたら、ご教示いただきたく
よろしくお願いいたします。