制御工学における微分要素のインパルス応答について

質問

皆さんよろしくお願いいたします。
制御工学で過渡応答を勉強しております。
微分要素の過渡応答において、インパルス応答が導出できません。
インパルス応答は、逆ラプラス変換演算子をL^-1[　]とし、伝達関数をG(s)とすると次式で定義されています。
g(t)＝L^-1[G(s)]
今、微分要素の伝達関数を比例係数KとしてG(s)＝Ksとします。
するとインパルス応答は次式のようになります。
g(t)＝L^-1[Ks]＝KL^-1[s]
ここで逆ラプラス変換L^-1[s]の結果がどうなるかが分かりません。
ある教科書にはその結果はδ関数を用いて
L^-1[s]＝δ^(1)(t)
とδ関数の一回微分で表わされてました。
なぜこのようになるのか、式をどのように導出したのか、その過程が分かりません。
さらに、この関数をグラフに描くとすれば、どうなるのでしょうか。
ご存知の方いらっしゃいましたら、ご教示をお願いいたします。

回答No.6

foobar · ベストアンサー

（１)
(手順は微分定理の導出と同じなんですが）L[δ'(t)]を直接計算してもよいかと。部分積分を使うと、
∫δ'exp(-st)dt =δexp(-st)+∫sδexp(-st)dt　
でラプラス変換の積分区間を-εから∞にとり、その後ε→0の極限をとる。
上式右辺第一項は、t=-ε、∞どちらのときも0、第二項はδ関数の性質より、sなので
L[δ'(t)]=s　になります。（ε→0の極限をとっても同じ）
で、両辺逆ラプラス変換すると、
δ'=L^(-1)[s]

(2)
g'=1/Δt*(u(t)-u(t-Δt))は
g'=0 (t<0)
　=1/Δt (0<t<Δt)
　=0 (t>Δt)
をステップ関数（あるいはユニット関数)u(t)
u(t)=0 (t<0)
　=1(t>=1)
を使ってあらわしただけです。
（u(t)-u(t-Δt)　は幅Δt、高さ1の矩形波になります。）
これを微分すると、u'(t)が出てきて、これはδ関数になるので、
結果
g''=(1/Δt)(δ(t)-δ(t-Δt))
になって、これのΔt->0 の極限がδ'(t)になります。

お礼

ご回答頂きありがとうございます。
懇切丁寧なご説明ありがとうございます。
確認したいことが本ご回答に対して２点有ります。
以下の各項についてご回答いただければ幸いです。

(1)∫δ'exp(-st)dt =δexp(-st)+∫sδexp(-st)dt
　の右辺第2項の展開についてですが、以下のように理解しました。
　∫sδexp(-st)dt＝s∫δexp(-st)dtここでデルタ関数の性質より
　∫f(t)δ(t)dt＝f(0)であるからf(t)＝exp(-st)とすると
　∫δexp(-st)dt＝exp(-s×0)＝1であるから
　∫sδexp(-st)dt＝s
　まずこの展開はあっているでしょうか。

(2)ご回答頂いた(2)について導出過程をご教示頂きありがとうございます。
　δ'(t)はg''=(1/Δt)(δ(t)-δ(t-Δt))のΔt－>0の極限だということは
　理解できましたが、この式から、δ'(t)をグラフに描くとどのような
　形状になるのでしょうか。小生エクセルで描こうとしていますが、
　上式のままだと描くことが出来ません。

回答No.10

foobar

δ(x)は定義（性質？）より x≠0において0です。
また、x=εでε->0の極限はx=0とは異なります。（0に限りなく近いが、0ではない）
両者からδ(ε)でε->0の極限は0です。

お礼

ご回答頂きありがとうございます。
ご回答頂いた内容、よく理解できました。
ありがとうございました。

回答No.9

foobar

＃８お礼欄に関して
(1)
まず、t=0で不連続な関数では、f(-ε->0)やf(ε->0)とf(0)は一致するとは限りません。δ関数はt=0で不連続なので、δ(ε->0)とδ(0)が一致する必要はありません。(というか、一致しないのでδ(t)はt=0で不連続、という方が正しい気もしますが)

(2)
微分したらどうなる、というのを考える場合には、お礼欄で引用されているように連続な関数の極限として表現する方がより適切でしょう。
（個人的には、当ページで紹介されている２例のうち、後の指数関数をつかったほう（関数が細かい振動をしない方）がイメージするのには適切かなと思います。）

お礼

ご回答頂きありがとうございます。
ご回答頂いた内容、
『t=0で不連続な関数では、f(-ε->0)やf(ε->0)とf(0)は一致するとは
限りません。δ関数はt=0で不連続なので、δ(ε->0)とδ(0)が一致する
必要はありません。』
については、よく理解できました。ありがとうございます。

しかしながら、＃７のご回答(1)でδ(ε->0)=0とされているところが
良く理解できません。小生のとぼしい理解力からδ(ε->0)=0については
以下の疑問があります。
誤った理解であれば申し訳有りません。

＃７のご回答(1)について
『L[δ(t-ε)]=exp(-sε)
　L[δ'(t-ε)]=s*exp(-sε)-δ(-ε)=s*exp(-sε)
　ε->0をとると、L[δ'(t)]=s』
ここで、ε->0をとりδ(-ε)=0とされています。
おっしゃるとおりδ関数はt=0で不連続な関数です。
(1)この不連続点でなぜδ(ε->0)=0となるのでしょうか、
　ご教示いただければ幸いです。
(2)小生のとぼしい理解力では、ε->0ではδ関数のグラフからδ→∞
　となると考えられるのですがいかがでしょうか。

回答No.8

foobar

#6お礼欄に関して
(1)はそれで良いかと思います。

(2)
もともと、δ関数からして、「幅0で面積1」という変な関数（単純にグラフでは表現できない）で、その微分はさらに輪をかけて変な関数になるので、エクセルでグラフを描かせるのは無理があるように思います。
（むしろ、手でスケッチするほうがイメージを掴みやすいかと思います。）

若干余談
δ関数の説明に通常使われるのは、
(a) 「幅Δ、高さ1/Δの矩形波」でΔ->0の極限
ですが、実はこれに限定する必要もなくて
(b)「幅Δ、高さ2/Δの三角波」でΔ->0の極限
なんかでもOKだったりします。((b)でも∫f(x)δ(x)dx=f(0)は満足できる)

で、δ'を考えるときに(a)から導くと、「間隔Δ、大きさ1/Δのδ関数（の極限）」になりますし、
(b)から導くと「幅1/(2Δ)高さ4/Δ^2の矩形波とそれに続く幅1/(2Δ)高さ-4/Δ^2の矩形波（の極限）」になります。
わたし自身は(a)から導く方がイメージしやすいのですが、場合によっては(b)から導く方がイメージしやすいかもしれません。

お礼

ご回答頂きありがとうございます。
(1)については、ご同意頂きありがとうございます。
また、(2)については、ご丁寧なご回答ありがとうございます。
小生も、ご回答頂いてから色々なサイトを見て、それなりに勉強してみました。
これまでご回答頂いたことも含め、さらにご質問させて頂く内容を
絞らせていただきましたので、ご回答いただければ幸いです。
(1)＃７のご回答(1)について
　『L[δ(t-ε)]=exp(-sε)
　　L[δ'(t-ε)]=s*exp(-sε)-δ(-ε)=s*exp(-sε)
　ε->0をとると、L[δ'(t)]=s』
　ここで、ε->0をとると結局δ(-ε)=δ(0)となりやはり
　δ(0)の扱いが問題になると考えられますがいかがでしょうか。

(2)δ'(t)のグラフについて＃１でご回答頂いたとおり
　『グラフにすると、t=-0で∞にt=+0で-∞に、それ以外は
　　0のような代物になります。』
　のとおりと推察しました。やはり、形状を考えるには
　周期関数やガウス関数などを使わないと困難ではと思いました。
　下記サイトからご回答頂いた内容と一致することがおぼろげながら、
　理解できました。
　http://www.astr.tohoku.ac.jp/~chinone/pdf/Delta_Function.pdf
　できればもっと簡単な方法で示せればと思いますが、foobarさん
　の知りえる限りでご教示いただければ幸いです。

回答No.7

foobar

＃６補足と訂正
まず、補足
(1)に関して、＃６では、ラプラス変換の区間をε広げましたが、逆にδ関数をε移動して（+移動定理を使って）
L[δ(t-ε)]=exp(-sε)
L[δ'(t-ε)]=s*exp(-sε)-δ(-ε)=s*exp(-sε)
ε->0をとると、
L[δ'(t)]=s
という計算でもよいかも。（やってることは同じですが）

次に訂正
（２）で
u(t)=0 (t<0)
　=1(t>=1)
は
u(t)=0 　(t<0)
　=1　(t>=0)
の間違い（tの区間を打ち間違えた）です。

回答No.5

foobar

（私の回答では、厳密さにはかなり目をつぶってますので、その点はご了承を。）

0<t<Tの矩形波と-T/2<t<T/2の矩形波
幅半分(T/2)だけ位置がずれていますが、t->0の極限をとるので、実用上は同じです。
-T/2<t<T/2の矩形波を使わなかったのは、
・通常のラプラス変換はt>0の範囲を扱うので、t<0で値を持つ関数は取り扱いが面倒
・-T/2<t<T/2の関数を使うと、明らかにδ(-0)=∞になるので、ラプラス変換の微分定理を使いにくい。（もっとも、δ関数のようなものに微分定理を適用していいのか、って問題がそもそもあるんですが、そこは冒頭に書いたように目をつぶるとして、、）
という難点があるので。

g'=0 (t<0),1/Δt (0<t<Δt),0 (t>Δt)の微分
g'=1/Δt*(u(t)-u(t-Δt))ですから、
これの微分は、δ関数の導入同様、u(t)の立ち上がり部分に傾きを想定して計算し、その後、極限をとる、という操作で処理可能です。
（結果、u(t)の微分(=δ関数）+極限でδ'を表現できます。)

お礼

ご回答頂きありがとうございます。
確かに厳密に考察すると超関数の理論を持ってこないと
厳しいかもしれません。
小生この分野には全くの無知であり、小生にも分かりやすく
ご回答頂いており助かります。

さて、ご回答頂いている中で、質問を今一度整理させていただきました
（質問内容が混乱しないよう質問に番号を振らせていただきました）。
以下の質問毎にご回答いただければ幸いです。

(1)L^-1[s]＝δ^(1)(t)をどのように導いたらよいかがいつのまにか、
　なくなってしまいました。
　微分のラプラス変換ではδ(0)＝0が証明できないため導出できませんでしたが、
　他の方法で導出できないか、ご存知であればご教示いただきたくお願いいたします。

(2)＃４(2)の質問に『g'=0 (t<0),1/Δt (0<t<Δt),0 (t>Δt)の微分』
　について、これまで定義されていなかった
　g'=1/Δt*(u(t)-u(t-Δt))
　が突然出てきたので、ますます混乱しております。
　恐れ入りますが、今一度
　「g'=0 (t<0),1/Δt (0<t<Δt),0 (t>Δt)」の微分が
　「t=0で大きさ1/Δtのδ関数、t=Δtで-1/Δt*δ(t-Δt)
　　のΔt->0の極限をとったもの」
　となる導出手順をご教示いただきたくお願いいたします。

回答No.4

foobar

コメント
「ここで、ｔ＝0の点に着目するとu(t)＝1ですから
δ(0)＝u'(t)＝1'＝0
となるので、δ(0)＝0として良いことになります。」
とは簡単には言えません。（uはt=0で不連続なので)
（δ(0)=0とすると、∫f(t)δ(t-x)dt=f(x)が成立しなくなってしまいます。)

δ関数
ステップ関数をそのまま使うと面倒なので、
g(t)=0 (when t<=0)
=t/Δt (0<t<Δt)
=1 (t>Δt)
の関数を考えます。(Δt->0の極限がステップ関数)

これを微分すると
g'=0 (t<0)
=1/Δt (0<t<Δt)
=0 (t>Δt)
の矩形になります。これをΔt->0の極限をとったものが、δ関数になります。

δ'はこの矩形の微分したものですから、
t=0で大きさ1/Δtのδ関数
t=Δtで-1/Δt*δ(t-Δt)
のΔt->0の極限をとったものになります。

お礼

ご教示いただきありがとうございます。
確かにおっしゃるとおり、デルタ関数の定義から
δ(0)=0とすると、∫f(t)δ(t-x)dt=f(x)が成立しなくなりますね。
ご教示頂いた内容で疑問に思ったことが有ります。
以下についてご教示いただければ幸いです。
(1)新たな関数
　g(t)=0 (when t<=0)
　=t/Δt (0<t<Δt)
　=1 (t>Δt)
　(Δt->0の極限がステップ関数)
　を定義されています。この導関数がデルタ関数とされているのですが、
　下記サイトではデルタ関数の表現が少し異なります。
　同じ事と考えてよろしいのでしょうか。
　http://www.phys.u-ryukyu.ac.jp/~maeno/qm2006/qmK_3.html
　上記サイトの表現を用いると
　g'=0 (t<-Δt)
　=1/(2Δt) (-Δt<t<Δt)
　=0 (t>Δt)
　の矩形でΔt->0の極限をとったものがδ関数。
　つまり、δ関数の性質として偶関数δ(－t)=δ(t)であること
　を満たしております。
　しかしながら、新たに考案された関数ですと
　上記偶関数の性質が満たされません。

(2)「δ'はこの矩形の微分したものですから、
　　t=0で大きさ1/Δtのδ関数
　　t=Δtで-1/Δt*δ(t-Δt)
　　のΔt->0の極限をとったものになります。」
　定義された関数の導関数
　g'=0 (t<0)
　=1/Δt (0<t<Δt)
　=0 (t>Δt)
　をどのように微分したらご教示頂いたようになるのでしょうか。

回答No.3

foobar

L[δ(t)]=1ですから、(δ(-0)=0とすれば）
s=L[δ'(t)]になりますので、
L^(-1)[s]=δ'(t)
になります。

お礼

ご回答いただきありがとうございます。
L[δ'(t)]についてプラス変換すると
L[δ'(t)]＝sL[δ(t)]－δ(0)
ここでL[δ(t)]=1、でありδ(0)＝0とおくと上式は
L[δ'(t)]＝s
これを逆ラプラス変換すると確かに
L^-1[L[δ'(t)]]＝L^-1[s]⇔δ'(t)＝L^-1[s]
ですね。ここで問題となるのは、ご指摘のとおりδ(0)の扱いですね。
この点について考察してみたいと思います。
δ(t)はそもそもステップ関数
u(t)＝1（t≧0)、u(t)＝0（t<0)
の微分として定義されていますので次式が得られます。
δ(t)＝u'(t)
ここで、ｔ＝0の点に着目するとu(t)＝1ですから
δ(0)＝u'(t)＝1'＝0
となるので、δ(0)＝0として良いことになります。
小生の知りえた知識のなかで考察しております。
間違った点などご指摘いただければ幸いです。

さて、問題はL^-1[s]＝δ^(1)(t)のグラフの形です。
＃１でご回答頂いたグラフの形は、どうしてそうなるのか分かりません。
小生の理解不足で申し訳有りませんが、ご教示いただければ幸いです。

回答No.2

foobar

＃１訂正
時間微分との関係式は
L(g(t)')=s*L(g(t))+g(0)ではなくて
L(g(t)')=s*L(g(t))-g(0)でした。
失礼。

回答No.1

foobar

L^-1[s]＝δ^(1)(t)はラプラス変換の微分公式
L(g(t)')=s*L(g(t))+g(0)
を使えば出る（？）かと思います。
（厳密には、g(0)の扱いが問題になるかと思いますが、、）

グラフにすると、
t=-0で∞にt=+0で-∞に、それ以外は0のような代物になります。
（ちょうど矩形派の微分が、立ち上がる瞬間で∞に、たち下がる瞬間に－∞に、それ以外の部分は0になるような感じで。で、矩形派の幅を（面積を一定に保つように高さを変えながら）0にしていけば、δ'の概形になるかと思います。）

お礼

ご回答ありがとうございます。
ラプラス変換の微分公式については、既に知っております。
しかしながら、微分公式を使用してどのように
L^-1[s]＝δ^(1)(t)
を計算できるのでしょうか。
だいぶ、頭を捻ってみましたが、より分かりません。
ご存知でしたらご教示いただきたくお願いいたします。