２次関数の問題が分からないので教えてください。

質問

次の図は、２次関数y=ax^2*+bx+cのグラフである。それぞれの場合について、a,b,cおよびa+b+cの符号を答えてください。

ちなみに答えは、a<0, b<0, c>0, a+b+c<0
です。

回答No.2

asuncion · ベストアンサー

放物線が上に凸であるから、a<0
グラフより、y軸との交点が正であるから、c>0

f(x) = ax^2 + bx + c = 0の1つの解が1/2であるから、
f(1/2) = a/4 + b/2 + c = 0
a + 2b + 4c = 0 …… (1)

一方、ax^2 + bx + c = 0の両辺をa(≠0)で割る。
x^2 + bx/a + c/a = 0
左辺を平方完成する。
x^2 + bx/a + c/a
={x + b/(2a)}^2 - b^2/(4・a^2) + 4ac/(4・a^2)
={x + b/(2a)}^2 - (b^2 - 4ac)/(4・a^2)
頂点のx座標は-b/(2a)で、グラフから負であることがわかる。
-b/(2a)<0 …… (2)
すでに求めたとおり、a<0であるから、b<0

a + b + cは、f(1)に等しい。
グラフからf(1)<0であるから、a + b + c < 0

回答No.3

asuncion

＞f(x) = ax^2 + bx + c = 0の1つの解が1/2であるから、
＞f(1/2) = a/4 + b/2 + c = 0
＞a + 2b + 4c = 0 …… (1)

ここの話は丸ごと不要でしたね。

回答No.1

gohtraw

まず、グラフが上に凸なので、ａ＜０です。また、グラフとｙ軸の交点はｙ座標が正です。ｙ軸との交点というのはｘ＝０の時ですから、元の式にｘ＝０を代入するとｙ＝ｃ、つまりｃ＞０ということです。
次にグラフの軸に着目すると、軸はｘが負の領域にあります。元の関数は
ｙ＝ａ（ｘ＋ｂ／２ａ）＾２＋ｂ＾２／４ａ＋ｃ
と変形でき、軸の式は
ｘ＝－ｂ／２ａ
です。この軸がｘ＜０の領域にあるのでｂ／２ａ＞０、両辺を２ａ倍すると２ａは負なので負等号が逆転してｂ＜０です。

ａ＋ｂ＋ｃというのはｘ＝１の時のｙの値です。ここでグラフをみると、点（１／２、０）でｘ軸とまじわっているので、ｘ＝１のときｙは負になります。よってａ＋ｂ＋ｃ＜０です。