極限の求め方

質問

lim{x→∞}((x-1)/x)^x

この関数の極限を求めたいのですが
当方、文系でさっぱりです。
x乗ってのがなければすぐにわかるのですが、、、

答えだけでなく、その求め方も教えていただけると助かります。

回答No.2

kumipapa

ネイピア数の定義がお分かりならそれを変形すれば 1/e となることが求められます。
h = x-1 とおくと、x→∞のときh→∞ですから、
lim[x→∞]{(x-1)/x}^x
= lim[h→∞]{h/(h+1)}^(h+1)
= lim[h→∞]{h/(h+1)}{h/(h+1)}^h
= lim[h→∞]{h/(h+1)}{1/((h+1)/h)^h}
= 1/e　　　　(∵　h/(h+1) → 1, ((h+1)/h)^h → e )

または、
lim[x→∞]{(x-1)/x}^(-x) = e
を認めてもらえば、これより
lim[x→∞]{(x-1)/x}^x = lim[x→∞]1/{(x-1)/x)^(-x)} = 1/e

lim[x→∞]{(x-1)/x}^(-x) = e というのは、
lim[x→∞]{(x-1)/x}^(-x)
= lim[x→∞]{x/(x-1)}^x
(h=x-1 とおくと）
= lim[h→∞]{(1+h)/h}^(h+1)
= lim[h→∞]{(1+h)/h}{(1+h)/h}^h
= e
で導かれます。

回答No.1

phusike

e（ネイピア数）の極限を用いた定義を使います。
分からなければ、その定義を補足に記入して下さい。

補足

ネイピア数。大学1年の微分積分の講義で聞いた気がします（汗

lim{x→∞}((x+1)/x)^x

これがネイピア数ということですね？