次の関数の極限を求めよ。

質問

次の関数の極限を求めよ。
lim(x→∞)（1＋3/x）＾x
教えてください。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

高校では、自然数 n について lim(n→∞) (1＋1/n)^n を e の定義として教わる。
実関数 (1+1/r)^r が r > 0 の範囲で単調増加であることから、
ハサミウチの定理により、実数 r についても lim(r→∞) (1＋1/r)^r = e となる。
r = x/3 で置換すれば、完了。

回答No.3

19740828

少し長くなりますがよろしいでしょうか？
まず、自然対数eの定義ですが、このeという数はy=e^xとすると、x=0のときにyの傾きが１になる、
つまりy'(0)=1になる数です。
ここで、微分の定義から、
y'(x)=lim(h→0)(y(x+h)-y(x))/h = lim(h→0)(e^(x+h)-e^x)/h
となります。
y'(0)=1ですから
y'(0)=lim(h→0)(e^(0+h)-e^0)/h = 1
=lim(h→0)(e^h - 1)/h = 1
変数を置き換えて
lim(x→0)(e^x - 1)/x = 1　......(1)
次のステップに移ります
(1)式より
lim(x→0)(e^x - 1) = lim(x→0)x
lim(x→0)e^x = lim(x→0)(x+1)
両辺の対数をとって

lim(x→0)log(e^x) = lim(x→0)log(x+1)
lim(x→0)xlog(e) = lim(x→0)log(x+1)
lim(x→0)log(e) = lim(x→0)(1/x)log(x+1)
log(e) = lim(x→0)log((x+1)^(1/x))
e = lim(x→0)(x+1)^(1/x)

次にy=e^xとするときy'=e^xを証明します。
微分の定義から
y' = lim(h→0)((e^(x+h)-e^x)/h
y' = lim(h→0)((e^x・e^h -e^x)/h
y' = lim(h→0)e^x(e^h - 1)/h
y' = e^x・lim(h→0)(e^h - 1)/h
ここで式(1)より
y' = e^x・1 = e^x......(2)

次に合成関数の微分法がわかるのであれば、
y=e^axのとき
y' = a・e^ax
になるというのは、わかりますね。
これよりy'(0) = a
微分の定義から
y'(0) = lim(h→0)(e^a(0+h)-e^a・0)/h = a
lim(h→0)(e^ah - 1)/h = a
lim(h→0)(e^ah - 1) = lim(h→0)(ah)
lim(h→0)(e^ah) = lim(h→0)(ah+1)
ここで前と同じように両辺の対数をとると
lim(h→0)log(e^ah) = lim(h→0)log(1+ah)
lim(h→0)h・log(e^a) = lim(h→0)log(1+ah)
lim(h→0)log(e^a) = lim(h→0)(1/h)log(1+ah)
log(e^a) = lim(h→0)log((1+ah)^(1/h))
e^a = lim(h→0)(1+ah)^(1/h)
変数を置き換えて
x = 1/h
この時　h→0,x→∞
したがって、
e^a = lim(x→∞)(1+a/x)^x
となり、結局答えは、a=3として
e^3です。

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

同種の問題は過去にも何度か質問されていましたので、検索もしてみてください。
考え方は、自然対数の底：eの定義式に合うように変形をします。
これだけです。＾＾

回答No.1

Tacosan

e って知ってる?

補足

はい。２,なんとかですよね。