三角関数の極限値の求め方

質問

極限値の求め方で苦戦しているのですが、どうしても答えと会いません。
どのように求めるか分かる方宜しくお願いします。

(1)　lim x→0　sin2X/sin5X　　　　　　答え　2/5

(2)　lim x→0　(1-cosX)/(X sin X)　　　　答え　1/2

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)　
lim [x→0]　sin(2x)/sin(5x)
=lim [x→0](sin(2x)/(2x))*{1/(sin(5x)/(5x))}*(2/5)
=(2/5){lim[x→0](sin(2x)/(2x))}
/{lim[x→0] sin(5x)/(5x)}
=(2/5)*1/1
=2/5

(2)　
lim [x→0](1-cos(x))/(x*sin(x))
=lim [x→0]((1-cos(x))/x^2)/(sin(x)/x)
=lim [x→0]((1-cos(x))/x^2)/{lim [x→0]sin(x)/x}
=lim [x→0]((1-cos(x))/x^2)/1
0/0型なのでロピタルの定理適用して
=lim [x→0]sin(x)/(2x)
=(1/2)lim [x→0]sin(x)/x
=(1/2)*1
=1/2

お礼

ありがとうございます。とても参考になります。ロピタルの定理は知らなかったので勉強になりました。

回答No.2

alice_44

基本どおり、級数展開する。

(sin 2x)/(sin 5x)
= {2x + (xについて3次以上の項)}/{5x + (xについて3次以上の項)}
= {2 + (xについて2次以上の項)}/{5 + (xについて2次以上の項)}
→ 2/5 (when x→0).

(1 - cos x)/(x sin x)
= [1 - {1 - (1/2)x^2 + (xについて4次以上の項)}]/[x {x + (xについて3次以上の項)}]
= {(1/2)x^2 + (xについて4次以上の項)}/{x^2 + (xについて4次以上の項)}
= {(1/2) + (xについて2次以上の項)}/{1 + (xについて2次以上の項)}
→ 1/2 (when x→0).

お礼

ありがとうございます。とても細やかに解説いただいて参考になりました。感謝いたします。