極形式のコーシー・リーマンの関係式
極形式で表した複素数 z = r exp( iθ )
極形式で表した複素関数 f(z) = R(r,θ) exp( iΘ(r,θ) )
において
{ f(z) - f(z0) } / ( z - z0 ) ・・・＊
の極限(z→z0)を ( r 一定)と( θ 一定)でそれぞれ調べることにより、極形式におけるコーシー・リーマンの関係式が
r ・∂R/∂r = R・∂Θ/∂θ
∂R/∂θ = - rR・∂Θ/∂ｒ
を示せ。という問題なのですが、＊の式に極形式のf(z), f(z0), z, z0をそれぞれ代入して
r 一定のときは
[ R(r0,θ0+h) exp{iΘ(r0,θ0+h)} - R(r0,θ0) exp{iΘ(r0,θ0)} ] / {r0 exp(iθ0) (exp(ih)-1)} ・・・(1)
となり、θ一定のときは
[ R(r0+k,θ0) exp{iΘ(r0+k,θ0)} - R(r0,θ0) exp{iΘ(ｒ0,θ0)} ] / (k exp(iθ0)) ・・・(2)
となることは代入だけなのでわかるのですが、これらの式で h , k を0にする極限をとったとき、
(1)→ { (1/ir0) ∂R(r0,θ0) / ∂θ + (1/r0) R(r0,θ0) ∂Θ(r0,θ0) / ∂θ }exp(iΘ(r0,θ0) exp(-iθ)
(2)→ {∂R(r0,θ0) / ∂r + iR(r0,θ0) ∂Θ(r0,θ0) / ∂r }exp(iΘ(r0,θ0)) exp(-iθ)
となるところがわかりません。これが示せれば後は両者の実数部と虚数部が等しくなることから極形式のコーシー・リーマンの関係式が導けるのですが。
お礼
御回答どうもありがとうございます。 まさか余弦定理を使うとは・・・。 全く思い付きませんでした。 確かにBの偏角を固定して考えると明らかのような気がします。 どうもありがとうございました。 大変助かりました。