複素数の範囲での直線の方程式の可能性について

質問

[問い]
円C1:x^2 + y^2 = 9
円C2:x^2 + (y-2)^2 = 4
この二つの円の共通接線の方程式を求めよ。
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答えは分かっています。
C1の接点Pの座標を(s, t)としたとき、
t=3/2 -----(イ)
t=15/2 -----(ロ)
この二通りが考えられる訳ですが、(ロ)で計算を進めていくと、
s=±{(3√21i)/2}となります。ですので、(イ)で計算を進め、
答えを導きます。

ただ・・・

そもそも円C1と円C2の位置関係を把握する為に図を描いた時点で、
二円が共有点を二つ持つような位置に存在している為に共通内接線
を引けないというのは分かったのですが、本当に(ロ)から得られる
ような複素数の範囲にある直線の方程式では引けないのでしょうか。
共通外接線/共通内接線が複素数の範囲に存在する可能性は無いので
しょうか。もしあるとするならどういう図になりますか？

・・・なんだかおかしな事を訊いているようで、
質問自体にもあまり自信がありませんが・・・

宜敷御願い致します。

回答No.3

kabaokaba

C1の接線を，s^2+t^2=9の条件の下で
sx+ty=9と表して，
これがC2：x^2+(y-2)^2=4と接するわけだから
(0,2)とsx+ty=9の距離が2ということで
|2t-9|/3 = 2 だから
2t-9 = 6,-6
t = 3/2, 15/2
ということでしょう．
ところが，s^2+t^2=9より，
-3<=t<=3だからt=3/2だけが解になります．
ここで重要なのは
s,tが実数だから，
「s^2+t^2=9より，-3<=t<=3」
ということが言えるのです．
実数という条件がなければ，
虚数だってありです．

それで，No.2さんご指摘のように
立派に「複素数の範囲で「接線」は存在」です．
この場合は考える空間がもっと広くて
(z,w) zとwは複素数で
C1: z^2+w^2=9
C2: z^2+(w-2)^2=4
なんて書くことが多いです．
この複素数の場合は，接線といっても
複素数の「線」なので
「実数」としてみれば「面」です．
複素二次元は実四次元なので，普通に絵に描くことはできません．
＃複素数で考えたときの「適切な断面」が実数のときの絵となるので
＃断面の取り方を変えれば，「複素数の接線」も一部は見えるかも．

実際のところ・・・数学の世界では
「複素数の範囲ではn次方程式は重複を含めてn個の解を持つ」
ということから，この手の方程式で表せる図形は
複素数で考えることが多いです．
＃実数だけで方程式で表される図形を考えるのは
＃とても難しいのです

ということで，質問自体はとてもいい内容だと思うし，
そういうところに気がつくのもいいことだと思います．

ちなみに，複素数で図形を考えると結構面白いことが起こります．
たとえば，x=0とy=0（y軸とx軸）のは原点で交わります．
このxとyを複素数だと思うと，これらの軸は平面（複素平面）であり，
複素二次元，つまり四次元の世界にいます．
そして，平面同士なのに「原点だけで交わる」という状態です．
われわれの普通の感覚では平面が「一点で交わる」ことはないですが，
複素数まで考えるとこういうことが起こります．
これは「一点で交わる二つの平面」の断面が
われわれのしってる「二次元座標平面」と解釈できます．

お礼

ありがとうございます。とても分かりやすいです。
また、お答えから色んな好奇心が刺戟されてそれがとても嬉しいです。

以前私はこのような質問をしたことがあります。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4918025.html
今回の質問は、この中の四番の方が仰っていることと関連はありますか？

お答えが大変興味のある話だったので、是非とも色々掘り下げて知りたい
のですがどういう単語が鍵になるのかわかりません。高校の範囲を超えて
いても構いません。是非教えて下さい。

宜敷御願い致します。

回答No.2

arrysthmia

その「接線」は、複素2次元空間 C~2 内に存在し、
C~2 内では、正しく2円の共通接線になっています。
貴方が C~2 (または、それと同相な 実4次元空間 R~4)
の図形を見たり描いたりすることができるならば、
この状況を眺めることができます。

ただし、接点の座標が虚数であれば、実xy平面内では
接点が在るとは見なされませんから、
実空間の問題としては、貴方が解いたように、
虚数接点の解は捨てることになります。

回答No.1

info22

(イ),（ロ)を導出する過程の計算を書かないで、同値関係を保ちながら
P点のy座標を導出しましたか？
同値関係を無視して出てくるtが（ロ）であり、同値関係を保って出てくるt
が（イ）の方です。
計算を書かないで
>答えは分かっています。
として
いる点で紛れ込んだ正しくないtである(ロ）で議論を進めること自体、
正しくない結論に行くだけです。

（イ）のtで計算すれば
虚数のsなどでてこないで
s=±(3√3)/2
が出てきますよ。
単なるあなたの計算間違いでしょう。

C1の接点(s,t)=(±(3√3)/2,3/2)を通る共通外接線
±(3√3)x+(3/2)y=9
が2本出てきます。

グラフを描くと添付図のようになります。