中学数学の問題です。

質問

今、中学の数学を勉強をしている社会人です。
解らない問題で困っています。ぜひ、詳しく教えてください。
お願い致します。

(1)２次方程式６ｘ＾2－１１ｘ＋３＝０の解をすべて求めなさい。　答え　Ｘ＝１/３，３/２

　解の公式を使うときと使わない時の違いが解りません。

(2)Ｘ＾3－８を因数分解しなさい。　　答え　（Ｘ－２）（Ｘ＾2＋２ｘ＋４）

(3)整式Ｘ^4－３ｘ＾2－Ｘ＋５をX-2で割った時の余りを求めなさい。　　答え　7

回答No.3

nattocurry

(1)
2次方程式を解くときに、因数分解を使うやり方と、平方完成を使うやり方があります。

6x^2-11x+3=0

因数分解を使うと、
(3x-1)(2x-3)=0
となり、
x=1/3,3/2
となります。
x^2の係数が1じゃない場合はたすきがけを使うのですが、たすきがけが苦手な人は、次のようにすると便利です。

x^2の係数が6なので、両辺にさらに6を掛けて、6xをXに置き換えることで、X^2の係数が1の二次方程式を解けば良いことになります。

36x^2-66x+18=0
6xをXと置く
X^2-11X+18=0
(X-2)(X-9)=0
X=2,9
Xを6xに戻す
6x=2,9
x=1/3,3/2

平方完成を使うと、
6x^2-11x+3=0
x^2-11x/6+3/6=0
x^2-11x/6+121/144-121/144+3/6=0
(x-11/12)^2=121/144-72/144
(x-11/12)^2=49/144
x-11/12=±7/12
x=4/12,18/12
x=1/3,3/2

ただ、これはそれなりに時間がかかるので、公式を覚えると便利になります。
ax^2+bx+c=0
x^2+bx/a+c/a=0
x^2+bx/a+(b/2a)^2-(b/2a)^2+c/a=0
(x+b/2a)^2=b^2/4a^2-4ac/4a^2=(b^2-4ac)/4a^2
x+b/2a=±√(b^2-4ac)/2a
x=(-b±√(b^2-4ac))/2a
これが解の公式です。

因数分解と平方完成、問題によってやりやすいほうを使って構いません。

(2)
略

(3)
xの4次式をxの1次式で割ると、xの3次式＋あまり(xの0次式＝定数)、になります。

(xの4次式)＝(xの3次式)(xの1次式)＋(xの0次式)

この問題の場合、xの1次式は　x-2　なので、

(xの4次式)＝(xの3次式)(x-2)＋(xの0次式)

となります。

この式は、方程式ではなく、恒等式なので、どのxについても成り立ちます。
つまり、x=2　の場合も成り立ちます。

xに2 を代入すると、x-2=0となるので、

(xの4次式：x=2)＝(xの0次式：x=2)

となります。
そして、右辺は、xの4次式をx-2で割ったときのあまりなので、xの4次式にx=2を代入した結果が、あまりと等しいということになります。

回答No.2

Kirby64

1.因数分解が不得手だった、因数分解にこだわらずに解の公式を使いましょう。
　解の公式を間違わずに速く計算できるように練習するニャ。
2.これは因数分解の公式を覚えるしキャニャイ！
　8が2の3乗と言うことに気付けるよう日頃の練習ニャ。
3.剰余定理は習った?
　習ってなくても次のことを覚えるニャ。
多項式（Ｘ^4－３ｘ＾2－Ｘ＋５これニャ）をX-2で割った余りを求めるには
x-2=0
z=2を多項式に代入すればよいニャ。
x4-3x2-x+5にx=2を代入
=2^4-3*2^2-2+5
=16-12-2+5
=7（これがあまり）

ちなみに2.の問題にx=2を代入すると
x^3-8にx=2を代入
=2^3-8
=0
割り切れたということは、
x=2
x-2=0だから、x^3-8は(x-2)を使って因数分解が出来るってことが分かるニャ。

回答No.1

miku3_happy

(1)
　6x^2 - 11x + 3 = 0
⇔(3x -1)(2x - 3) = 0　なので
x = 1/3 , 3/2
これはたすきがけを使って因数分解してます。
解の公式はどうしても因数分解できない時に使います。
x^2 - 2x - 4 = 0 (x = 1±√5 )　みたいに因数分解できないもの。

(参考)
3x ＼／ -1 → -2x
2x ／＼ -3 → -9x
↓　　　↓　　↓
6x^2　　+3　　-11x
だから6x^2 -11x + 3 = (3x - 1)(2x - 3)となる

(2)
x^3 - a^3 = (x - a)(x^2 + ax + a^2)　という公式がありまして

x^3 - 8 = x^3 - 2^3 なので
x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)　となります。

x^3 - a^3　は　(x - a) で割りきることが可能で、割ることで上の公式を導くことができます。

(3)
x^4 - 3x＾2 -x + 5　= x^4 + 0x^3 - 3x^2 - x + 5　としておいて
割り算をするときは、整式の係数だけ取り出すと楽です。
x^4 + 0x^3 - 3x^2 - x + 5　の係数は順に　1 0 -3 -1 5
x - 2　の係数は　1 -2
　　　1 2 1 1
　　　_____________
1 -2　）1 0 -3 -1 5
　　　　1 -2
　　　　　　2 -3
　　　　　　2 -4
　　　　　　　　1 -1
　　　　　　　　1 -2
　　　　　　　　　　1 5
　　　　　　　　　　1 -2
　　　　　　　　　　　　7
なので
x^4 - 3x^2 - x + 5 = (x - 2)(x^3 + 2x^2 + x + 1) + 7　となるので余りは７です。

参考URL：

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/tasuki1.htm