与えられた角度の三角形における３点を、与えられた楕円の上に書けるか?

質問

三角形において、３つの角度が与えられているとします。
ただし、３つの内角の和は１８０度。
三角形の形は定まりますが、大きさや位置はまだ定まっていません。

次に、楕円が与えられたとします。大きさや位置も定まっています。
このとき、もとの三角形の３点を、その楕円の上にいつでも描けるのでしょうか?

描けるとしたら、作図するにはどうすればよいのでしょうか？

上記の問題で、「楕円」を「３つの平行な直線」とか「放物線」に変更したらどうなるのでしょうか？

回答No.5

arrysthmia · ベストアンサー

A No.3 の者です。補足を拝見しました。
＞ 一方向だけに拡大するということは、
＞ 三角形は相似ではなくなってしまうので、
＞ よくないと思うのですが。
の部分ですが…

確かに、Ｔ’はＴと相似ではありません。
しかし、Ｔ’は r の長さを求めるためだけに使っており、
Ｅに内接させる三角形Ｓは、元のＴを相似拡大して作っています。
問題ないと思います。

「長軸方向(だけ)に b/a 倍」という説明が言葉足らずで、
意味が伝わるか心配だったのですが、その疑問が出たということは、
操作は御理解いただけたようですね。

蛇足ですが、先の回答では省略した「Ｓを平行移動」について…

変な場所にＳを作ってから後でＥに接するように移動するより、
直にＥ内にＳを作るほうが簡単でした。
（もちろんこの場合も、ＳはＴと相似に作ります。）

Ｔ’の外心を通って、Ｅの長軸と平行な直線Ｌを引き、
Ｔ’の各頂点からＬへ垂線を下ろします。すると、
（外心から垂線の足までの距離，垂線の足から頂点までの距離）の組
によって、頂点の位置は座標表示されます。

先の a,b,r を用い、例によって方冪の定理で掛け算を行って、
　Ｅの長軸・短軸の交点を原点に、
　長軸方向へ (外心から垂線の足までの距離)×(a/r)
　短軸方向へ (垂線の足から頂点までの距離)×(b/r)
の位置をプロットすれば、その３点はどれもＥの周上にあり、
３点を結ぶと三角形Ｓになります。

回答No.4

nakaizu

三角形ABCと楕円があったとします。
楕円上の点Pを適当にきめます。どこでもかまいません。
このときに楕円上の点Q、Rで三角形PQRが三角形ABCと相似になるようなQ、Rが存在します。証明もできます。
ただ作図方法はちょっとわからないです。
証明の概略は

点Pを固定します。Qが自由に動けるとして、Rを三角形PQRが三角形ABCと相似になるようにきめます。このとき裏返しを考えると二箇所でてきますが、同じむきになるように決めることにします。
さて、Qが曲線上を動くとRも(別の)曲線上を動きます。Qの動く曲線が連続ならばRの動く曲線も連続になります。
さて、楕円上に点Pを固定します。Pのすぐ傍に点Q1を三角形PQ1R1が三角形ABCに相似でR1が楕円の外になるように決めます。三角形PQ1R1を描いたときに楕円が直線に見えるくらいQ1をPに近くするとそのようにできるのがわかると思います。
つぎに三角形PQ1R1をPを中心に約180度回転させて三角形PQ2R2をQ2が楕円上になるように作ります。このときR2は楕円の内側にあります。
さて、三角形PQRのPは固定、QはQ1からQ2まで楕円上を(Pを通らないように)移動させるとします。Rは三角形PQRが三角形ABCと相似になるように移動します。Rの移動跡(軌跡)はR1からR2までの曲線になります。R1は楕円の外でR2は楕円の内側なので、この曲線はどこかで楕円と交わります。
この交わった点にRがくるようにすれば題意を満たす三角形PQRができます。

回答No.3

arrysthmia

平面上に任意の三角形Ｔと任意の楕円Ｅが与えられたときに、
Ｔと相似でＥに内接する三角形を(ユークリッドの意味で)
作図することができるか？という問題ですよね。

楕円については、できると思います。

楕円は(定規とコンパス以外の道具を使わないと)作図不能
な図形ですが、既に楕円が与えられている場合には、その
長軸と短軸を作図することはできます。長軸の長さを a、
短軸の長さを b としましょう。

また、方冪の定理を使えば、与えられた長さ a,b,c の線分
に対して、長さ cb/a の線分を描くことができます。

この２つの技を使って、Ｔを、Ｅの長軸方向(だけ)に
b/a 倍した三角形Ｔ’を作図することができます。

Ｔ’の外接円を描いて、その直径 r を得ます。

Ｔを(両軸方向に) b/r 倍相似拡大した三角形Ｓを描けば、
ＳはＥに内接します。最後に、Ｓを平行移動して完了です。

Ｅが他の図形だったら、どうなるんでしょうね。

お礼

ご回答、ありがとうございます。

問題文に作図と書いたのは、おまけみたいなもので、最初は特にこだわらなくていいと思っていました。

>この２つの技を使って、Ｔを、Ｅの長軸方向(だけ)に
b/a 倍した三角形Ｔ’を作図することができます。

ご回答のこの部分ですが、一方向だけに拡大するということは、三角形は相似ではなくなってしまうので、よくないと思うのですが。

回答No.2

age_momo

第一感では放物線以外はかけると思います。

三角形の大きさや向きは自由に変えていいなら、この命題は
『直線関係にない3点を通る楕円の長径、短径の比率は自由に
設定できるか』ということと同値になると思います。
三角形を形成する3点を通る任意の楕円が書けるなら
決められた楕円に対してその三角形はかけるということに
なりますから。そして楕円を決めるファクターは長径と短径の
比率だけですし、１：１すなわち円は必ず書けます。
後は無限に平べったい楕円が書けるかどうか(つまり比率として
∞：１)になりますが、イメージだけですができそうです。

また、方程式から見ても
(x-a)^2/b+(y-c)^2/d=1
に3点を代入するだけではb:d比率は決まりますが、楕円を回転させれば
ファクターが1つ増えてb:d比率は自由に変えられそうです。
(全然確かめていませんが。。。）

同様に3本の平行線の場合もこれを特徴つけるのはそれぞれの間隔の比率だけです。
なので3点を通る平行線の間隔の比率を自由に設定できるかと
考えると
ΔABCがあって、Aを通り辺BC上の点Pを通る直線を考え、それにB,Cを
通る2本の平行線を考えるとPをB→Cまで移動させればAを通る直線と
B,Cを通る直線の間隔の比率は１：∞から∞：１まで変化しますから
やはり自由に3本の平行線を設定できると思います。

一方、放物線ですが、ほとんど二つ折れのような放物線は
イメージできますが、ほとんど直線のような放物線はどうやっても
3点を通せません。というか、y=x^2/10000上に正三角形が作れるかと
考えれば無理でしょう。なので放物線はできないこともあるという
ことですね。

お礼

ご回答、ありがとうございます。

楕円：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 上に３点をとって、内角がα、β、γ（ただし和は１８０度）の三角形を作ることができるか？

おっしゃるようにこれは出来そうです。

楕円：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 上に任意の２点（ただし、その距離は十分小さく）をとります。
その２点を結び、三角形の辺（ただし、最大の内角の対辺）とします。
すると、三角形のもう一つの頂点（最大の内角）は、楕円の内部にとれそうです。
最初に楕円上にとった２点の距離をどんどん大きくしていきます。
すると、三角形の大きさはどんどん大きくなり、楕円の外部にでます。
その間を考えれば、ちょうど内角がα、β、γの三角形が、楕円に内接するという状況が作れそうです。
ただし、一意的ではないです。

同じようにイメージで考えると、

３つの平行な直線：y=a,y=b,y=c 上にそれぞれ３点をとって、内角がα、β、γ（ただし和は１８０度）の三角形を作ることができるか？

これも出来そうです。

放物線：y=ax^2 上に３点をとって、内角がα、β、γ（ただし和は１８０度）の三角形を作ることができるか？

aが0に近い値のとき、放物線はほとんど横にひらべったい直線になるというイメージがありかもしれませんが、倍率を上げて、遠くから眺めると、例えば、(100,1000000a)という座標が見えてきます。必要であればもっと遠くから眺めることで、この点はy軸に近いように見えてきます。すると、どんな放物線も、針のように二つ折れのような放物線になると思います。
すると、やはり、上記の命題も成立するようにイメージできそうです。

回答No.1

info22

質問者さんの解答を何も書かないで問題の丸投げは禁止事項です。
分かる範囲で自分の解答を補足に書いて、分からない箇所だけ具体的に質問するようにして下さい。
丸解答を求めると削除対象になりますので気をつけて下さい。

自分で解答を作っているなら、問題を具体的に書いてください。

＞三角形において、３つの角度が与えられているとします。

与えられているならなぜ問題の質問にそれらの３つの角を書かないで質問するのですか？

＞楕円が与えられたとします。大きさや位置も定まっています。

定まっているなら、楕円の式を書かないでなぜ他人任せの
質問をするのですか？

回答者に問題が具体的にわかるような文章の問題にして質問して下さい。

補足に問題を回答者に分かりやすく具体的な問題に書き直して
質問者さんの解答プロセスを書いて、分からないところを具体的に質問しなおしてください。

＞その楕円の上にいつでも描けるのでしょうか?
＞三角形の形は定まりますが、大きさや位置はまだ定まっていません。
この条件があれば描き方はともかくとして、描けるでしょうね。

例えば、
楕円を(x/4)^2+(y/3)^2=1
この楕円に、正三角形や(30°、60°、90°)の直角三角形や
（30°、30°120°）の二等辺三角形などを
実際に内接させ、それを描く方法から考えて見られたら
如何ですか？

お礼

info22様。ご回答、ありがとうございます。
ただ、今回の質問は、一般論的で、また、どこかの具体的な課題ではありません。
また、簡潔に書こうとしたために、分かりづらい文に思われたことに対してお詫びします。
そして、具体的な数値を書くと、逆に問題を矮小化することになると個人的には思っております。

ある三角形があるとします。
それに外接する円が一意的に描けます。
その状態を、拡大・縮小することによって、「与えられた角度の三角形を、与えられた円の周上に３点をとって結ぶことで、描くことができる」ことが分かります。

このことを楕円で行いたいのです。
楕円：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 上に３点をとって、内角がα、β、γ（ただし和は１８０度）の三角形を作ることができるか、という素朴な疑問です。