楕円計算で困っています

質問

長径2a、短径2bの楕円があり、長軸と短軸の交点座標（いわゆる中心点）を(0,0)とする

この中心点からx軸からの角度αで直線を引き、楕円との交点座標を（x1,y1）とし、
また、この座標がx軸に対して対称な座標を（x1,-y1）とする

この2点に対して楕円の接線を引いて、2つの線の角度をβとする

この条件で(x1,y1)座標と角度βを、a,b,角度αを用いて表現する方法はないでしょうか？
色々考えてみたのですがどうも上手くいきません。
どうかよろしくお願いします。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

楕円の極座標表示を用いればよいと思います。
　長軸がｘ軸と一致しているとしますと次のようになります。

　　x1＝a cosθ、　y1＝b sinθ

　ここで、tanα＝y1/x1　なので、tanθ＝a/b tanα　を上の２式に代入して、まずx1とy1を次のように表します。

　　x1＝a/√{1+(tanθ)^2}　＝a/√{1+(a/b tanα)^2}
　　y1＝b/√{1+(1/tanθ)^2}＝b/√[1+{b/(a tanα)}^2]

　次に、点（x1,y1）に於ける接線の方程式は、x1x/a^2+y1y/b^2＝１　なので、接線の傾きの絶対値は (b/a)^2 x1/y1 ですから、βと次の関係があります。

　　tan(β/2)＝(b/a)^2 x1/y1
　∴β＝2 arctan{(b/a)^2/tanα}

お礼

申し訳ありません。お礼の方、遅れました
回答ありがとうございます

なるほど、媒介変数表示ならば、ある程度まとまった式で出せますね
とても参考になりました

回答No.4

hatake333

削除されなければ良いのですが…

(x1,y1)は，
　　y1 = (tanα)x1
　　(x1)^2/a^2 + (y1)^2/b^2 = 1
の2つを連立させて解けば，
　　x1 = ±ab/√(b^2 + (a*tanα)^2)
　　y1 = ±ab*tanα/√(b^2 + (a*tanα)^2) 　　(複合同順)
また，2接線の角度βについては，楕円方程式，
　　x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
の両辺を x について微分すると，
　　2x/a^2 + 2y*y'/b^2 = 0
　　∴　y' = -(b/a)^2 * (x/y)
この式にx = x1 , y = -y1 を代入(y = y1 でもよい)して，y1 = (tanα)x1 より，
　　y' = (b/a)^2 * (x1/y1) = (b/a)^2 * (1/tanα)
これは，接線の傾きを表している．2つの接線はx軸で交わり，x軸はβを2等分するので，
　　tan(β/2) = (b/a)^2 * (1/tanα)
2倍角の公式より
　　tanβ = 2tan(β/2)/{1 - (tam(β/2))^2}
　　　　　= 2tanα*(ab)^2/{a^4 * (tanα)^2 -b^4}
如何でしょうか．

お礼

申し訳ありません。お礼の方、遅れました
回答ありがとうございます

その方法で初め計算していたのですが、キレイに出なかったの諦めていたのですが・・・出ましたか
私の計算力不足のようです
とても参考になりました

回答No.3

Mr_Holland

＃１です。

＞楕円の極座標表示を用いればよいと思います。

　ごめんなさい。媒介変数表示　の誤りでした。
　この表示の考え方を図示しているサイトがありましたので、よかったら参考にして下さい。

http://homepage2.nifty.com/sintakenoko/Cabri/CTrace11.html

お礼

補足ありがとうございます

回答No.2

orcus0930

x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1　と
y = tan(α) x　の連立方程式を解く。
原点対称に2つの解が得られるはずです。きれいな式になる可能性は薄いですが。

楕円の接線は
x1*x/a^2 + y1*y/b^2 = 1となるので、
傾きは - x1/y1 * b^2/a^2
となるので、
角度は対称性を考えて
2*arctan(x1/y1 * b^2/a^2)
になります。

具体的な計算はそちらでお願いします。

お礼

申し訳ありません。お礼の方、遅れました
回答ありがとうございます

その方法で最初やっていたのですが、中々きれいな式にならず四苦八苦していたのです。
私の言葉足らずでした。申し訳ありませんm(_ _)m
丁寧な説明に感謝いたします