※ ChatGPTを利用し、要約された質問です(原文:回転した楕円を任意の直線に投影した長さの求め方)
回転した楕円を直線に投影した長さの求め方
このQ&Aのポイント
回転した楕円を任意の直線に投影した長さの求め方について教えてください。
長軸と短軸を持つ楕円を回転させ、任意の直線に投影した長さを求める方法が知りたいです。
現在、楕円を回転させて投影する方法について考えていますが、直線の式を求めるところで行き詰まっています。他に簡単な求め方があれば教えてください。
回転した楕円を任意の直線に投影した長さの求め方
長軸を2a、短軸を2bとした場合の楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1(楕円上の点は(a*cosθ、b*sinθ))を、長軸とx軸との角度φとして回転させ、原点を通る任意の直線(例えばx軸との角度ψが10度の直線)に投影した長さ(例えば、x軸(ψ=0)なら楕円が収まる長方形の横の長さ)の求め方が分かりません。
今のところの考えでは、
(1).回転後の楕円を求める。
⇒x^2+y^2=a^2*(cosφ)^2+b^2*(sinφ)^2
(楕円上の点は(a*cosθ*cosφ-b*sinθ*sinφ、a*sinθ*cosφ+b*cosθ*sinφ))
(2).投影する直線の式を求める。
⇒?
(3).(2)の直線と(2)の直線の垂線で楕円と1点で接する直線の交点の座標を求める。
(4).(3)の点と原点との距離を算出し、投影した長さを求める。
というように考えていますが、(2)のところで行き詰ってしまっています。
長くなりましたが、
・そもそも、この考えかたは合っているのでしょうか。
・あっている場合、(2)以降を教えていただけると助かります。
・他に計算が楽になる求め方は無いでしょうか。
よろしくお願いします。
お礼
回答ありがとうございます。 なるほど、回転した楕円をもとに戻すのがミソなんですね。 だいぶ計算が楽になりました。 とても分かりやすい説明ありがとうございました。