回転した楕円を任意の直線に投影した長さの求め方

質問

回転した楕円を任意の直線に投影した長さの求め方

長軸を2a、短軸を2bとした場合の楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1（楕円上の点は（a*cosθ、b*sinθ））を、長軸とx軸との角度φとして回転させ、原点を通る任意の直線（例えばx軸との角度ψが10度の直線）に投影した長さ（例えば、x軸（ψ=0）なら楕円が収まる長方形の横の長さ）の求め方が分かりません。

今のところの考えでは、
(1)．回転後の楕円を求める。
⇒x^2+y^2=a^2*(cosφ)^2+b^2*(sinφ)^2
（楕円上の点は（a*cosθ*cosφ-b*sinθ*sinφ、a*sinθ*cosφ+b*cosθ*sinφ））
(2)．投影する直線の式を求める。
⇒？
(3)．(2)の直線と(2)の直線の垂線で楕円と1点で接する直線の交点の座標を求める。
(4)．(3)の点と原点との距離を算出し、投影した長さを求める。
というように考えていますが、(2)のところで行き詰ってしまっています。

長くなりましたが、
・そもそも、この考えかたは合っているのでしょうか。
・あっている場合、(2)以降を教えていただけると助かります。
・他に計算が楽になる求め方は無いでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.1

apollonius · ベストアンサー

まず、角度φだけ回転した楕円を角度－φ回転し直して標準形（x^2/a^2+y^2/b^2=1）に戻します。このとき、もとの座標でx軸となす角がψだった直線は－φの回転でx軸とのなす角が(ψ－φ)の直線になります、すなわち、この直線をLとすると、
　L：　y=tan(ψ－φ)・x
という直線になります。一方、公式により、楕円上の点(x0,y0)における楕円の接線Tは、
　T：　(x0/a^2)x+(y0/b^2)y=1
と表わせるので、この接線の傾きが直線Lと垂直になるような点(x0,y0)を探します。接線Tの傾きmは、
　m=-(b^2/a^2)(x0/y0)
となるので、いま楕円上の点(x0,y0)を極座標表示で（a*cosθ、b*sinθ）と表わすと、
　m=-(b^2/a^2)(a*cosθ/b*sinθ)=-(b/a)(1/tanθ)　...　(1)
となります。この傾きが、直線Lの傾きtan(ψ－φ)と直交するためには、
　m*tan(ψ－φ)=-1　...　(2)
とならなければいけません。すなわち、(1)、(2)式から、
　-(b/a)(1/tanθ)*tan(ψ－φ)=-1
　⇒　tanθ=(b/a)*tan(ψ－φ)　...　(3)
となります。ここで、
　cosθ=1/√(1+tanθ^2)
　sinθ=tanθ/√(1+tanθ^2)
なので、(3)式を代入して整理すると、
　cosθ=a/√(a^2+b^2*tan(ψ－φ)^2)
　sinθ=b*tan(ψ－φ)/√(a^2+b^2*tan(ψ－φ)^2)
よって、
　x0=a*cosθ=a^2/√(a^2+b^2*tan(ψ－φ)^2)
　y0=b*sinθ=b^2*tan(ψ－φ)/√(a^2+b^2*tan(ψ－φ)^2)　...　(4)
となります。いま、このようにして点(x0,y0)が求まったとすると、求める投影された線分の長さは原点(0,0)から接線Tまでの距離の２倍になります。そこで、原点から接線Tまでの距離をdとすると、点と直線との距離の公式により、
　d=|(x0/a^2)*0+(y0/b^2)*0-1|/√((x0/a^2)^2+(y0/b^2)^2)
　　=1/√((x0/a^2)^2+(y0/b^2)^2)
　　=a^2*b^2/√(b^4*x0^2+a^4*y0^2)
となります。よって求める投影線の長さは、
　2*d=2*a^2*b^2/√(b^4*x0^2+a^4*y0^2)
となります。あとは上の式に(4)の(x0,y0)を代入するだけです。

お礼

回答ありがとうございます。

なるほど、回転した楕円をもとに戻すのがミソなんですね。
だいぶ計算が楽になりました。

とても分かりやすい説明ありがとうございました。