平行線の公理について

質問

まず、いま勉強している教科書において
・平行線の公理
「与えられた直線外の点を通る、この直線と平行な直線はたかだか１つしか存在しない」
・ユークリッドの「原本」に述べられている平行線に関する公理
「２直線が第３の直線に交わり、同傍内角の和が２直角（２∠Ｒ）よりも小さいときは、それらの２直線はその側において交わる」
とそれぞれ定められています。
そして、上記の二つの公理が同値であることを示せという例題が載っています。
以下、教科書に載っている例題の解答の前半部分です

最初に平行線の公理を仮定する。
２直線が第３の直線と交わり、その同傍内角をそれぞれα、βとし、さらにαの補角をα’、βの補角をβ’とする。
もし２直線が同傍内角の側で交わらないとすると、平行であるか、逆の側で交わる。
平行であるときは錯角が等しいのでα＋β≡２∠Ｒであり、仮定に反する。
逆の側で交われば、その交点をＣとして、α’＋β’＋∠Ｃ≡２∠Ｒであるから
α＋β≡（２∠Ｒ－α’）＋（２∠Ｒ－β’）
　　　≡２∠Ｒ＋｛２∠Ｒ－（α’＋β’）｝
　　　≡２∠Ｒ＋∠Ｃ
　　　＞２∠Ｒ
これも矛盾である。

とあります。どこが仮定に反しているのか、矛盾しているのかが解らなくてこんがらかっているところです
なにか変な勘違いをしているのかも知れませんが宜しくお願いします
後半部分のユークリッドを仮定して平行線の公理を導くのは直ぐに理解は出来たのですが・・・・

回答No.3

tky8452

「Ａ→Ｂ」のときに「Ａ→Ｂ」の対偶、つまり「Ｂでない→Ａでない」もまた真です。
今回の問題の場合、
（仮定）２直線が第３の直線に交わり、（かつ）同傍内角の和が２直角（２∠Ｒ）よりも小さいときは、
→（結論）それらの２直線はその側において交わる
であるから、この対偶を用いて証明しています。
また仮定は、その同傍内角をそれぞれα、βとすればα＋β＜２∠Ｒとなるので、これに矛盾することを証明してます。
やや文章が分かりにくいけど、特に論理上の問題はないと思います。

お礼

回答ありがとうございます
おかげですっきりしました
仮定のα＋β＜２∠Ｒが失念したせいで混乱してたみたいです

回答No.2

Quattro99

> ２直線が第３の直線と交わり、その同傍内角をそれぞれα、βとし、さらにαの補角をα’、βの補角をβ’とする。
この仮定では、同傍内角の和が2直角よりも小さい側の内角をα、βとしているのではないですか？そう仮定した上で、平行ならα＋β≡２∠Ｒとなってしまって矛盾、逆の側で交わるならα＋β＞２∠Ｒとなって矛盾ということだと思います。
示したいのは、
> 「２直線が第３の直線に交わり、同傍内角の和が２直角（２∠Ｒ）よりも小さいときは、それらの２直線はその側において交わる」
ですから、「２直線が第３の直線に交わり、同傍内角の和が２直角（２∠Ｒ）よりも小さいときに、それらの２直線がその側において交わらないとすると」と仮定して矛盾を示しているのだと思います。

お礼

回答ありがとうございます
教科書以上のことは書き込んでいないのですが
Quattro99さんの仰るとおり、同傍内角の和が２直角よりも小さい側の内角をα、βとしているで間違いないと思います

>２直線が第３の直線に交わり、同傍内角の和が２直角（２∠Ｒ）よりも小さいときに
確かに、これを仮定した上で交わらないとすると、とやるとすっきり行きますね
つまり私は示したい事柄をよく把握していなかったというわけか
どうもありがとうございます

回答No.1

koko_u_

あんまり考えてないけど、

「平行であるときは錯角が等しいのでα＋β≡２∠Ｒであり、仮定に反する」

この辺が怪しいですよね。平行である時に錯角が等しいことを言うためには
今まさに示そうとしているユークリッドの意味での平行線公理が必要になりそうに思われます。

少なくとも質問文にある意味での平行線の公理から錯角が等しいことを示す必要がありそうです。

お礼

回答ありがとうございます
「平行線の公理の下で、平行線の錯角は等しい」
という補題がこの例題の少し前に記されていました

あとユークリッドの公理の逆も成り立つということで
「平行線の公理を仮定せず、三角形ＡＢＣにおいて∠Ａ＋∠Ｂ＜２∠Ｒが常に成り立つ」
というのでした
書くとごっちゃになりそうで書かずにおいてしまったのですが不味かったかもしれません＾＾；

さらに言いますとこの教科書が間違ってる部分が何度かでてきてるんですよね・・・・・
この例題でも「教科書の間違い」でしたら嫌ですね