図形の問題

質問

半径1の円を三つ以下のような感じで並べて、
http://www.jedi.co.jp/sekizai/kamon/17.jpg
三つの円の中心の隙間をなくす配置を考える問題なのですが、条件として、この円どうしが重なる面積を最小にする場合という条件がつきます。
感覚的には、三つの円を接させた場合を考え、それぞれの円と円の接している折線を引いた際に出来る、交点に接するように、円をスライドさせたときが、一番面積が小さくなる気はするのですが、これを証明しようとすると、どうやればいいのか見当もつきません。
どなたか、良いアイデアなどを教えて貰えるとありがたいです。

回答No.2

noname#168349

ANo.1です。かなりの長文です。ご容赦ください。

半径１の三円A,B,Cの中心をそれぞれ点A,点B,点Cとする。
点Aをxy平面の原点とする。
点Bの座標を(2cosα,0)とする。題意より円Aと円Bは共有点を持たなければならないから、これは問題ない。
また、座標のとり方は任意だから、0<=α<π/2としてよい。
円Aと円Bの共有点はD(cosα,sinα),E(cosα,-sinα)である。
三円は隙間のないよう配置されなければならないので、点Dは円C内部に含まれるか、円Cの周上になければならない
(点Eについて考えてもよいが結局これは同じことである)。
しかし点Dが円C内部に含まれるとき、円Cをy軸正方向に平行移動させることにより円どうしが重なる面積Sを減らすことができる。
よって点Cは点Dを中心とする半径１の円Dの周上にあることがわかる。
以上のことより、ベクトルDCとx軸正方向のなす角をδ(0<=δ<2π)とすると、点Cの座標は
C(cosα+cosδ,sinα+sinδ)
と書くことができる。
π<δ<2πのときSは、δ-πのときのSよりも明らかに小さい。
また0<=δ<=αのときSは単調減少、π-α<=δ<=πのとき単調増加であることも明白である。
よって、α<δ<π-αにおけるSの増減を調べる。

α<δ<π-αのとき、円Cと円Aは２点D、Fを共有する。円Cと円Bは２点D、Gを共有する。
∠FAC=∠DAC=β、∠GBC=∠DBC=γとする。
cosβ=AC/2=[sqrt{(cosδ+cosα)^2+(sinδ+sinα)^2}]/2
sinβ=sqrt(1-(cosβ)^2)=sqrt[1-{(cosδ+cosα)^2+(sinδ+sinα)^2}/4]
cosγ=BC/2=[sqrt{(cosδ-cosα)^2+(sinδ+sinα)^2}]/2
sinγ=sqrt(1-(cosγ)^2)=sqrt[1-{(cosδ-cosα)^2+(sinδ+sinα)^2}/4]
sin(2β)=2cosβsinβ
=[sqrt{(cosδ+cosα)^2+(sinδ+sinα)^2}]/2*sqrt[1-{(cosδ+cosα)^2+(sinδ+sinα)^2}/4]
=sin(δ-α）
sin(2γ)=2cosγsinγ
=[sqrt{(cosδ-cosα)^2+(sinδ+sinα)^2}]/2*sqrt[1-{(cosδ-cosα)^2+(sinδ+sinα)^2}/4]
=sin(δ+α）
=sin{π-(δ+α)}
以上は平方をバラしたのち加法定理を駆使して計算する。また
△ABCの内角の和=2α+2β+2γ=π
である。

S=2(扇形DAE-△DAE)+2(扇形FAD-△FAD)+2(扇形DBG-△DBG)
=2[α-{sin(2α)}/2]+2[β-{sin(2β)}/2]+2[γ-{sin(2γ)}/2]
=2α-sin(2α)+2β-sin(2β)+2γ-sin(2γ)
=π-sin(2α)-sin(δ-α)-sin(δ+α）

まず、Sを最小にするδを求める。
dS/dδ=-cos(δ-α)-cos(δ+α)=-2cosδcosα=0
よってδ=π/2でSは極値をとる。δ=π/2のとき
(d/dδ)dS/dδ=2cosαsinδ>0
よってδ=π/2でSは最小値をとる。これは0<=α<π/2の任意のαで成り立っている。

次にδ=π/2としてSを最小にするαを求める。
S=π-sin(2α)-sin(π/2-α)-sin(π/2-α)=π-sin(2α)-2cosα
dS/dα=-2cos(2α)+2sinα
=-2{(cosα)^2-(sinα)^2}}+2sinα
=-2{1-2(sinα)^2}}+2sinα
=2(2sinα-1)(sinα+1)
=0
よってα=π/6でSは極値をとる。α=π/6のとき
(d/dα)dS/dα=4sinαcosα+cosα>0
よってα=π/6でSは最小値をとる。

以上のことよりα=π/6、δ=π/2のときSは最小になる。このとき
A(0,0),B(sqrt(3),0),C(sqrt(3)/2,3/2)
よって△ABCは１辺sqrt(3)の正三角形である。

不備、不足、矛盾等がありましたら、ご指摘ください。

お礼

丁寧な解答有り難うございました。＾＾

自分でも、最小で在るであろう面積は分かっているのだから、一つの円を少し動かして、動かした後の面積の方が、大きければ、元の面積が最小って方針で、証明してみようと思ったのですが、うまい、面積の導出方法が見つからず、uto-piaさんの証明と、同じぐらい計算がめんどくさくなってしまいました。＿|￣|○

何か、うまい凸レンズ形の面積の導出方法は無いものでしょうかね。。。

どなたかうまいことできるかたいましたら、うまい解法を見つけてもらいたいです。

回答No.1

noname#168349

計算した結果、
三円（半径1とする）の中心が一辺sqrt(3)の正三角形の頂点であるとき円どうしが重なる面積が最小になります。

その計算過程ですが、数学II程度の三角比と数学III程度の微分を使います。coronalithさんにこれらの知識があるのであれば、明日かあさっての夜にでも解説したいと思います。

簡単そうにみえて案外やっかいな問題でした。もっとスマートに解けないものかな。出来る方、いらっしゃったら、回答をお願いします。

お礼

解答有り難うございます。
高校数学は分かるので、是非uto-piaさんの解答を教えていただきたいです。