【至急】

質問

【至急】
数学Aの確率の問題です。

Ｏを原点とするxy平面上において、最初、点(1,0)にある点Ｐと点(0,2)にある点Ｑが次の規則にしたがって移動する。

(規則)
さいころを1回投げて
(a)1または2の目がでたとき、点Ｐはx軸方向に＋1進み、点Ｑは動かない。
(b)それ以外の目がでたとき、点Ｑはy軸方向に＋1進み、点Ｐは動かない。
この試行を何回か繰り返したときの点Ｐ、Ｑについて、ＯＰ、ＯＱを隣り合う2辺とする長方形の面積をＳとする。

さいころを5回投げたときについて考える。Ｓ=12になる確率は【1/3】であり、Ｓ=15になる確率【10/27】である。
S≧12であるとき、点Pのx座標が4以下である条件付き確率は【200/211】である。

【】の部分の値をどのように求めればいいのかがわからずに困っています。途中の計算式や解き方を教えてください。

回答No.2

startdashjp · ベストアンサー

具体的に考えられる問題を解くカギは、具体的に考えてみることです。
今回の場合は、さいころを5回投げると決まっているので、まずはさいころを5回投げた時の点P、Qの位置と面積Sを考えてみましょう。

1or2が5回出たとき　→　P(6,0),Q(0,2)　S=12
1or2が4回出たとき　→　P(5,0),Q(0,3)　S=15
1or2が3回出たとき　→　P(4,0),Q(0,4)　S=16
1or2が2回出たとき　→　P(3,0),Q(0,5)　S=15
1or2が1回出たとき　→　P(2,0),Q(0,6)　S=12
1or2が0回出たとき　→　P(1,0),Q(0,7)　S=7

となり、各事象は独立です。
(1)
S=12となるのは、上記から1or2が5回出たときと1or2が1回出たときのみなので、
求める確率をP1と置くと、
P1=5C5*((1/3)^5)*((2/3)^0)+5C1*((1/3)^1)*((2/3)^4)=1/3^5+5*16/3^5
=(1+80)/3^5=81/3^5=3^4/3^5=1/3…(1) となります。

また、S=15となるのは1or2が4回出たときと1or2が2回出たときなので、
求める確率をP2と置くと、
P2=5C4*((1/3)^4)*((2/3)^1)+5C2*((1/3)^2)*((2/3)^3)=5*2/3^5+10*8/3^5
=(10+80)/3^5=10*3^2/3^5=10/3^3=10/27…(2) となります。
(2)
事象A：S≧12、自称B：x≦4とします。
条件付き確率の定義より、求める確率をP3とおくと、
P3=P(B|A)=P(A∩B)/P(A)となります。

ここで、P(A∩B)は上の表から、Pが1～3回出たときなので、
P(A∩B)=5C3*((1/3)^3)*((2/3)^2)+5C2*((1/3)^2)*((2/3)^3)+5C1*((1/3)^1)*((2/3)^4)=(10*4+10*8+5*16)/3^5=200/3^5となります。
また、
P(A)は上の表から1or2が1回も出ないとき⇔3～6しか出なかったときだけなので、
P(A)=1-(2/3)^5=(3^5-2^5)/3^5=(243-32)/3^5=211/3^5

以上から、
P3=P(A∩B)/P(A)=(200/3^5)/(211/3^5)=200/211…(3)　となります。

ポイント：
(1)確率の問題では、どのようなときに、求める確率の事象になるかを確認することが重要です。今回の問題では、S=12やS=15になる条件を考えることですね。

(2)具体的に考えられる問題はなるべく具体的に考えると問題を考えやすいです。今回の問題では、1or2が何回でるとSがどうなるのかを書き出すことですね。

(3)書くまでもないことですが、定義・定理は覚えていましょう。定義は決まり事なので、その意味を。定理は定義から導出されるものなので、意味と導出過程まで意味を含め覚えられれば完璧です。
今回の場合は、条件付き確率の定義を覚えていないと(2)は解けません。今回の問題では、重複試行の定理をどんなとこで使うかわかっていないと(1)は解けません。

お礼

詳しく解説していただきありがとうございました。
無事に解答までたどり着き、理解することができました。

回答No.1

asuncion

条件付き確率はちょっと横へ置いておいて…。
Sが12になる場合のx座標、y座標の値を考えてみる。
(1, 12), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), (12, 1)の場合がある。
ところが、(1, 12)と(12, 1)の場合はありえない。なぜなら、
初期位置(1, 0)と(0, 2)の点が5回の試行でx方向またはy方向へ+1進むとき、
5回の試行で12に到達することは起こらないから。
よって、さしあたり(2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2)の場合を考えればよいことになる。
1)5回の試行で(2, 6)に到達する場合
5回のうち1回だけ1または2が出て、他の4回は3～6が出れば、
P(2, 0)、Q(0, 6)となるから、S = 12となる。
この場合の確率は、5C1 × (1/3) × (2/3)^4 = 80/243
2)5回の試行で(3, 4)に到達する場合
Pのx座標が3になるということは、1または2の目が2回出ることになる。
必然的に3～6の目は3回出ることになるが、そうすると、Qのy座標は5になってしまうので
題意に反する。よって、この場合は考えなくてよい。
3)5回の試行で(4, 3)に到達する場合
Pのx座標が4になるということは、1または2の目が3回出ることになる。
必然的に3～6の目は2回出ることになるが、そうすると、Qのy座標は4になってしまうので
題意に反する。よって、この場合は考えなくてよい。
4)5回の試行で(6, 2)に到達する場合
Pのx座標が6になるということは、5回とも1または2の目が出るということになる。
そして、3～6の目が1度も出ないので、Qのy座標は2のまま。この場合はありうる。
このときの確率は(1/3)^5 = 1/243
∴求める確率は80/243 + 1/243 = 81/243 = 1/3
S=15になる確率も、同じ考え方でできると思います。
さしあたりここまでにしておきます。

お礼

丁寧な解説ありがとうございました。
参考にさせていただきながらもう一度しっかり取り組んでみようと思います。