急ぎです。確率の問題が分かりません

質問

最初、点Pは座標平面における原点にあり、さいころを1回投げるごとに、次の規則で移動するものとする。

さいころを1回投げた時、
・1か2の目が出ればx軸の正の方向に1だけ移動
・3か4の目が出ればx軸の負の方向に1だけ移動
・5の目が出れば、y軸の正の方向に1だけ移動
・6の目が出れば、y軸の負の方向に1だけ移動

(1)さいころを3回投げた時、点Pがx＋y＝3上にある確率

(2)さいころを4回投げた時、点Pが(2,0)にある確率

(3)さいころを4回投げた時、点Pが原点にある確率

という問題なのですが、まず(2)が(1,2)(2,1)(3,0)(0,3)にあって、(3,0)と(2,1)にあるときの確率がそれぞれ1/27と1/18ということは分かったのですが、残りの(1,2)と(0,3)にあるときの確率が分かりません。

(3)において、4回投げて、Pが(2,0)にある進み方は
・x軸の正方向に3進む＋x軸の負方向に1進む
・x軸の正方向に2進む＋y軸の正方向に1進む＋y軸の負方向に1進む
の2つがあることはわかるのですが、どう式に出せばいいのか分かりません。

(4)においても、4回投げて、Pが原点(0,0)にある進み方は
・x軸の正方向に2進む＋x軸の負方向に2進む
・x軸の正方向に1進む＋x軸の負方向に1進む＋y軸の正方向に1進む＋y軸の負方向に1進む
・y軸の正方向に2進む＋y軸の負方向に2進むという3つがあることは分かるのですが、どうやって式に出せばいいのかよく分かりません。

回答No.1

atkh404185 · ベストアンサー

(1)ですね。
点Ｐが(1,2)に移動するのは、
1か2の目が１回、5の目が２回出る場合です。
この場合の確率は、
₃Ｃ₁(1/3)(1/6)²=1/36

点Ｐが(0，3)に移動するのは、
6の目が ３回出る場合です。
この場合の確率は、
(1/6)³=1/216

(2)ですね。
x軸の正方向に3進む＋x軸の負方向に1進む場合は、
1か2の目が３回、3か4の目が１回出る場合です。
この場合の確率は、
₄Ｃ₃(1/3)³(1/3)=4/81

x軸の正方向に2進む＋y軸の正方向に1進む＋y軸の負方向に1進む場合は、
1か2の目が２回、5の目が１回、6の目が１回出る場合です。
この場合の確率は、
{4!/(2!1!1!)}(1/3)²(1/6)(1/6)=1/81

したがって、求める確率は、
4/81+1/81=5/81

(3)ですね。
x軸の正方向に2進む＋x軸の負方向に2進む場合は、
1か2の目が２回、3か4の目が２回出る場合です。
この場合の確率は、
₄Ｃ₂(1/3)²(1/3)²=4/27

x軸の正方向に1進む＋x軸の負方向に1進む＋y軸の正方向に1進む＋y軸の負方向に1進む場合は、
1か2の目が１回、3か4の目が１回、5の目が１回、6の目が１回出る場合です。
4!(1/3)(1/3)(1/6)(1/6)=2/27

y軸の正方向に2進む＋y軸の負方向に2進む場合は、
5の目が２回、6の目が２回出る場合です。
この場合の確率は、
₄Ｃ₂(1/6)²(1/6)²=1/27

考え方です

A:1か2の目が出る
B:3か4の目が出る
C:5の目が出る
D:6の目が出る
とすると

例えば、（１）の
1か2の目が１回、5の目が２回出る場合は

１　２　３
Ａ　Ｃ　Ｃ　・・・・・・（ア）
Ｃ　Ａ　Ｃ　・・・・・・（イ）
Ｃ　Ｃ　Ａ　・・・・・・（ウ）
の３通りあります。

（ア）の場合の確率は
(1/3)×(1/6)×(1/6)
（イ）の場合の確率は
(1/6)×(1/3)×(1/6)
（ウ）の場合の確率は
(1/6)×(1/6)×(1/3)
と、掛け算の式は異なりますが、全部
(1/3)(1/6)²
で同じ確率です。
1か2の目が１回、5の目が２回出る確率は、
この（ア）、（イ）、（ウ）の場合をたせば求まるわけですが、
『　同じ数の足し算　』　は　『　掛け算　』　に直して計算することができます。
この　『　３通り　』　をどのように求めるかですが、
３回のうち１回、１または２の目が出る場合の数を求めればよく、
これは、Ａ、Ｂ、Ｂの３文字を一列に並べる場合の数に等しく
₃Ｃ₂　通りになります。
だから、1か2の目が１回、5の目が２回出る確率は、
₃Ｃ₂(1/3)(1/6)²
となります。

（２）の
x軸の正方向に2進む＋y軸の正方向に1進む＋y軸の負方向に1進む確率を求めるのであれば、
1か2の目が２回、5の目が１回、6の目が１回出る場合です。

１　２　３　４
Ａ　Ａ　Ｃ　Ｄ　・・・・・・（エ）
Ａ　Ａ　Ｄ　Ｃ　・・・・・・（オ）
Ａ　Ｃ　Ａ　Ｄ　・・・・・・（カ）
Ａ　Ｄ　Ａ　Ｃ　・・・・・・（キ）
・・・・・・・
・・・・・・・

（エ）、（オ）、（カ）、（キ）、・・・・・・の確率は、それぞれ同じ
(1/3)²(1/6)(1/6)
です。
この、（エ）、（オ）、（カ）、（キ）、・・・・・・が何通りあるかは、
Ａ，Ａ，Ｃ，Ｄを一列に並べる場合の数
4!/(2!1!1!)　通り
になります。
したがって、x軸の正方向に2進む＋y軸の正方向に1進む＋y軸の負方向に1進む確率は
{4!/(2!1!1!)}(1/3)²(1/6)(1/6)
になります。

（３）の
x軸の正方向に1進む＋x軸の負方向に1進む＋y軸の正方向に1進む＋y軸の負方向に1進む
であれば、
1か2の目が１回、3か4の目が１回、5の目が１回、6の目が１回出る場合であるから、

１　２　３　４
Ａ　Ｂ　Ｃ　Ｄ　・・・・・・（ク）
Ａ　Ｂ　Ｄ　Ｃ　・・・・・・（ケ）
Ａ　Ｃ　Ｂ　Ｄ　・・・・・・（コ）
・・・・・・・
・・・・・・・

（ク），（ケ）、（コ）は、それぞれ同じ確率
(1/3)(1/3)(1/6)(1/6)
です。
1か2の目が１回、3か4の目が１回、5の目が１回、6の目が１回出る場合は
ＡＢＣＤを一列に並べる場合の数に等しいから、
4! 通り　になり、この場合の確率は、
4!(1/3)(1/3)(1/6)(1/6)
になります。

回答No.2

atkh404185

訂正です。

1か2の目が１回、5の目が２回出る確率は、
この（ア）、（イ）、（ウ）の場合をたせば求まるわけですが、
『　同じ数の足し算　』　は　『　掛け算　』　に直して計算することができます。
この　『　３通り　』　をどのように求めるかですが、
３回のうち１回、１または２の目が出る場合の数を求めればよく、
これは、（★）Ａ、Ｂ、Ｂの３文字を一列に並べる場合の数に等しく（★）
₃Ｃ₂　通りになります。
だから、1か2の目が１回、5の目が２回出る確率は、
₃Ｃ₂(1/3)(1/6)²
となります。

（★）～（★）間
Ａ、Ｂ、Ｂの３文字を一列に並べる場合の数に等しく

　　　　↓↓↓

Ａ，Ｃ，Ｃの３文字を一列に並べる場合の数に等しく

です。