Aの極錐をplcn(A)と表記するとplcn(plcn(A))⊃Aの証明は?

質問

KをR(:実数体)の一つの部分体とし,K上のn次元縦vectorの空間をK^n,n次元横vector
の空間をK_nと表す事にする。 A⊂K_nに於いて
plcn(A):=∩[u∈A]{x∈K^n;ux≦0}と定義し,Aの極錐と呼ぶ。

[命題]plcn(plcn(A))⊃Aが成り立つ。

がなかなか示せません。
どのようにして示せますでしょうか?

回答No.1

PRFRD · ベストアンサー

その定義では，A ⊂ K_n の極錐は定義されていても　B ⊂ K^n の極錐は
未定義です．まあ自然に，縦横入れ替えたものだと思います．

この命題は plcn(A), plcn(plcn(A)) を書き下せば自明です．

任意の u ∈ A に対し u ∈ plcn(plcn(A)) を示します．
まず，plcn(A), plcn(plcn(A)) を書き下すと
　plcn(A) = ∩[u∈A] { x ∈ K^n; u x ≦ 0 }
　plcn(plcn(A)) = ∩[x∈plcn(A)] { v ∈ K_n; v x ≦ 0 }
となります．二つ目の式で ∩ されてる式の中に，
u ∈ A が入っていることをチェックすれば十分です．

実際，任意の u ∈ A は，任意の x ∈ plcn(A) に対して
　u ∈ { v ∈ K_n; v x ≦ 0 }
を満たします（x ∈ plcn(A) の定義）．よって ∩[x∈plcn(A)] しても
　u ∈ ∩[x∈plcn(A)] { v ∈ K_n; v x ≦ 0 }
となるので u ∈ plcn(plcn(A)) です．

お礼

どうも有り難うございます。
定義どおりやっていけば証明出来るのですね。
ちょっと気がつきませんでした。