Ａ・Ｂ＝Ｂ・ＡならばＡの固有ベクトルはＢの固有ベクトルである

質問

Ａ，Ｂをそれぞれｎ次正方行列とする
命題１：
「Ａ・Ｂ＝Ｂ・ＡのときＡの固有ベクトルはＢの固有ベクトルである」
これは反証がすぐに得られるので偽である
命題２：
「Ａ・Ｂ＝Ｂ・ＡでありＡの任意の固有値に対する固有ベクトル空間が１次元のときＡの固有ベクトルはＢの固有ベクトルである」
ｋｏｎｙ０氏の証明より
ｖをＡの固有ベクトルとしたときａを適当な複素数としてＡ・ｖ＝ａ・ｖ
一方Ａ・（Ｂ・ｖ）＝（Ａ・Ｂ）・ｖ＝Ｂ・（Ａ・ｖ）＝Ｂ・（ａ・ｖ）＝ａ・（Ｂ・ｖ）
従ってＢ・ｖはＡの固有値ａの１次元固有ベクトル空間に含まれるから
適当な複素数ｂが存在してＢ・ｖ＝ｂ・ｖ

命題１に代わる真の命題があれば証明付きで教えてください

回答No.2

physicist_naka · ベストアンサー

元の表記は、
「二つのエルミート行列が同一のユニタリー変換によって対角化される
ことの必要十分条件は、それらが可換であることである。」
で、質問に沿うように私が書き換えました。

> 「Ａ、Ｂがエルミート行列で、Ａ・Ｂ＝Ｂ・Ａ（可換）ならば、Ａの
> 固有ベクトルとＢの固有ベクトルを共通にとることができる。」
> 意味は
> 「Ａ、Ｂがエルミート行列で、Ａ・Ｂ＝Ｂ・Ａ（可換）ならば、Ａの
> 固有ベクトルであってＢの固有ベクトルであるものが存在する」
> ですか？

このあたり、誤解を招く言い方ですみません。
固有ベクトルは対角化したときのユニタリー行列の列ベクトルに
なっているのですから、同一のユニタリー変換で対角化されると
いうことは、同じ固有ベクトルの（こういう言い方がいいのかどうか）
セットが存在します。こういう意味なのですが、わかりますでしょうか。

> 「Ａの固有値の数とＡの固有ベクトル空間の次元」と
> 「Ｂの固有値の数とＢの固有ベクトル空間の次元」に対する関わりは
> ないのですか？

Ａ、Ｂとも、固有値の数はｎ、固有ベクトル空間の次元もｎです。
固有値の数は、縮退（重根がある場合）していても数えています。

> もっと一般的に
> 「Ａ・Ｂ＝Ｂ・ＡならばλをＡの任意の固有値としたときλを
> 固有値とするＡの固有ベクトルであってＢの固有ベクトルである
> ベクトルが存在する」
> は正しくないですか？

んー、そこは私にはわかりません。

昔、量子力学を勉強したのを復習しつつ書いていますので、
間違いがあるかもしれません。
一応「自身なし」としておきます。

お礼

physicist_nakaさんの定理をいろいろ調べていくとさらに一般的な

「ｎ次正規行列Ａ，Ｂが同じユニタリ行列Ｕで対角化できるための必要十分条件は
Ａ・Ｂ＝Ｂ・Ａが成り立つことである」
というのがありました

どもありがとうございました

補足

「正方行列Ａ，Ｂが対角化可能でＡ・Ｂ＝Ｂ・ＡならばＰ＾（－１）・Ａ・Ｐ，Ｐ＾（－１）・Ｂ・Ｐがともに対角行列になるような正方行列Ｐが存在する」
というのがあるようですね

どうもありがとうございました

回答No.1

physicist_naka

物理の量子力学で出てくるのですが、
「Ａ、Ｂがエルミート行列で、Ａ・Ｂ＝Ｂ・Ａ（可換）ならば、Ａの固有
ベクトルとＢの固有ベクトルを共通にとることができる。」
というのがあります。
つまり、Ａ、Ｂとも、同じユニタリー変換で対角化出来ます。
証明は量子力学の本に書いていますが、
ちょっと面倒そうですのでパスさせてください。

以下参考です。
Ａ、Ｂは物理量を意味し（例えばエネルギー、角運動量等）、
固有値は、その物理量を測定したときの値になります。
ですから、固有値は実数でなければならず、そのためＡ、Ｂはエルミート
行列でなければなりません。
固有ベクトルは、測定で、ある固有値が観測されたときに、その固有値に
対応する状態を意味します。
Ａ、Ｂが可換であることは、同時に確定値を有する状態が存在することを
意味します。

お礼

もっと一般的に
「Ａ・Ｂ＝Ｂ・ＡならばλをＡの任意の固有値としたときλを固有値とするＡの固有ベクトルであってＢの固有ベクトルであるベクトルが存在する」
は正しくないですか？

補足

「Ａ、Ｂがエルミート行列で、Ａ・Ｂ＝Ｂ・Ａ（可換）ならば、Ａの固有ベクトルとＢの固有ベクトルを共通にとることができる。」
意味は
「Ａ、Ｂがエルミート行列で、Ａ・Ｂ＝Ｂ・Ａ（可換）ならば、Ａの固有ベクトルであってＢの固有ベクトルであるものが存在する」
ですか？
「Ａの固有値の数とＡの固有ベクトル空間の次元」と
「Ｂの固有値の数とＢの固有ベクトル空間の次元」に対する関わりはないのですか？
もし詳しい表記があるのなら教えてください
よろしくお願いします