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カロア理論入門の定理３の証明
- 体K上のn個の組全体が作る行ベクトル空間K^(n)は、K上の次元nのベクトル空間である。
- 証明では、n個の要素（単位ベクトル）が線形独立であり、K^(n)を生成する。
- 最後の『いずれも(a1,a2,...an)=Σaieiからわかることである』は、各要素のベクトルの線形結合によって任意のベクトルが表現できることを示している。
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まず、 ｎ個の要素（いわゆる単位ベクトル） e1=(1,0,...,0) e1=(1,0,...,0) ．．．．．．．． e1=(1,0,...,0) は、どうみても、 ｎ個の要素（いわゆる単位ベクトル） e1=(1,0,...,0) e2=(0,1,...,0) ．．．．．．．． en=(0,0,...,1) の誤りだと思いますが。 この n個のベクトルは、一次独立です。 で、すべての、行ベクトル (a1, a2, a3, .... , an） は、 a1×e1 + a2×e2 + ..... an×en と表されますから、「n個の一次独立なベクトルの一次結合で表される」ことになります。 （ちなみに、a1×e1 + a2×e2 + ..... an×en が、Σaini） なので、定義から、Ｋ上のnこの要素全体が作る行（列）ベクトル全体は、n次元のベクトル空間となります。
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- 麻野 なぎ（@asano_nagi）
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No.1 です。 この証明は、厳密で正しい証明です。 n次元のベクトル空間であるとは、 1) n個の一時独立なベクトルが存在して、 2) そのベクトルの一次結合で、すべての要素（この場合は、列なり行）が表される ということです。 （定義です） つまり、「n次元ベクトル空間をなす」事の証明は、 1) 互いに一時独立で、 2) その一次結合ですべての要素を表すことができるn個のベクトル を示せという意味です。 例をひとつす示せば良いのですから、単位ベクトル e1 ～ en という、「証明するのに最も簡単な」ベクトルの組を、「これまでの知識の中から」探し出してくれば良いのです。 定理の記述の中になくても、これまで証明した（あるいは習った）事の中にあるか、あるいは、証明したことから、導き出されたものを使って論証するのが、証明です。 つまり、e1, e2 が定理の中に直接出てこないのは、どちらかと言えば普通のことであり、これまでの証明事項（あるいは、習ったこと）のなかから探し出してこなければなりません。
補足
親切な、ご回答有難うございます。 ＞例をひとつす示せば良いのですから、単位ベクトル e1 ～ en という、「証明するのに最も簡単な」ベクトルの組を、「これまでの知識の中から」探し出してくれば良いのです。 定理の記述の中になくても、これまで証明した（あるいは習った）事の中にあるか、あるいは、証明したことから、導き出されたものを使って論証するのが、証明です。 ＜－－－了解しました。
お礼
お礼が遅くなり御免なさい。 説明、有難うございました。 確か、ベストアンサーとかのお礼の方法があった様な 気がしますが、その方法がわかりません。 まさに、ベストアンサーです。
補足
asano.nagai さま ご回答有難う御座います。 ご返事が遅れました理由： 私がこのサイトに不慣れなもので、回答メールが来ていたにも関わらず、 回答メールで無いと感ちがいていました。 定理３ 体K上の要素のn個の組全体が作る行（あるいは列）ベクトル空間K^(n)は、K上の次元ｎの ベクトル空間である。 ｎ個の要素は、e1,e2,...enとしますが、その事の記述は、定理３の中には無いと思います。 つまり、証明を見て、e1,e2,...enの内容がわかることになると思います。 結論的には、この翻訳は間違いと言うことになると思われます。 つまり、『証明』という記述がありますが、これは補足説明と記述すべきでは無いかと思います。 独学に付き、また文章の理解能力が不足なので、この様な質問をさせて頂いております。 尚、私は工学系の人間につき、現代数学的なものは、とっつき難い感があります。 以上は、私の貴方の回答にたいする質問であり、コメント頂けますと大変助かります。 以上