3項間漸化式について

質問

a_(n+2)ー(p+q)a_(n+1)+pqa_n　（p,q∈R）
を満たす数列a_nは２次元ベクトル空間をなす、とは
いったいどうゆうことでしょうか？

数列とベクトル空間が結びつくことと
なぜ２次元なのかが分らないのですが・・。
どなたか分かる方、よろしくお願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

２次元ベクトル空間をなす、と言うんだったらその代表例である2次元ユークリッド空間（普通の平面）とみなせるってことだよね。
つまり、与えられた3項間漸化式を満たす数列{a_n}が平面上の点と1対1に対応付けられる、と言うことが分かればよい。

どういう対応付けができるかといえば、数列{a_n}は3項間漸化式を満たすんだから第1項と第2項を決めると数列{a_n}が決定できるので、その第1項と第2項をそれぞれx座標、y座標とする点に対応させようとするのは、やりあい自然だと思う。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

>第1項と第2項を決めると数列{a_n}が決定できるので、その第1項と第2項をそれぞれx座標、y座標とする点に対応させようとするのは、やりあい自然だと思う。

なるほど！
第一項と第二項の二つの要素が決まれば数列が一意的に決まるので、
二次元と考えればよいのですね。

あとこれはaiueo95240さんの回答にも書かれていることなんですが、
{b_n},{c_n}においてb_1,b_2,c_1,c_2を適当に決め、
(ただし一次独立になるようにします。（b_1,b_2）≠k(c_1,c_2)で
共に(0,0)でない。)与漸化式を満たす数列とします。
その時与漸化式を満たす任意のa_nは「a_n＝kb_n+lc_n (k,l∈R)」
と表せるというのが証明できないのです・・・。

お時間がありましたらよろしくお願いします。

補足

すみません、
今お礼を書き込んだ後、回答を読み直していましたらパッと思い付きました。
任意のa_1,a_2に対して
(a_1,a_2)＝k(b_1,b_2)+l(c_1,c_2)を満たすようにk,lを定めればよいのですね！
解決したような感じです。
どうもありがとございました。

回答No.3

aiueo95240

平面ベクトル(x,y)には、
和や実数倍に関して閉じている
任意のベクトルは二つの一次独立なベクトルで一意的に表せる
といった特徴がありますね。

3次元空間内の平面(x,y,z)(ただし、x+py+qz=0)
にも同様な性質があります。
(x_1,y_1,z_1)と(x_2,y_2,z_2)が平面上にあれば、(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)や(k*x_1,k*y_1,k*z_1)も平面上にあります。そして、
任意のベクトルは二つの一次独立なベクトルで一意的に表せる
ことから、平面上の点は、例えば、
(x,y,z)=k(-q,0,1)+h(-p,1,0)
とかけます。

a_(n+2)-(p+q)a_(n+1)+pqa_n=0
を満たすベクトル
{a_n}=(a_1,a_2,a_3,…)
にも同様な性質があります。
{a_n}と{b_n}が漸化式を満たせば、{a_n+b_n}や{k*a_n}も漸化式を満たします。そして、
任意のベクトルは二つの一次独立なベクトルで一意的に表せる
ことから、
いわゆる一般解は、例えば、
{a_n}=k{p^n}+h{q^n}
とかけます。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

>任意のベクトルは二つの一次独立なベクトルで一意的に表せる
>ことから、いわゆる一般解は、例えば、
>{a_n}=k{p^n}+h{q^n}とかけます。

このことも分からずにずっと悩んでいたんですが、
ようやく分かりました！
任意のa_1,a_2に対して
(a_1,a_2)＝k(b_1,b_2)+l(c_1,c_2)を満たすようにk,lを定めればよいのですね！
これは実はすごい方法ですね。
暗算レベルで３項間漸化式がとけるなんて、びっくりです。
参考書に載ってる方法は結構手間がかかるので、とても便利です。

この度は本当にどうもありがとうございました！

回答No.2

info22

>a_(n+2)-(p+q)a_(n+1)+pqa_n　（p,q∈R）
この式合っていますか？
3項を含む式ですが、3項間の関係を表す漸化式にはなっていませんね。

補足

すみません。ご指摘どうもありがとうございます。
a_(n+2)ー(p+q)a_(n+1)+pqa_n＝0　（p,q∈R）
です。
訂正します。

よろしくお願い致します。