数学の宿題です。余弦定理を図形的に解釈する問題です。

質問

まず、余弦定理を図形的に解釈する前提として、図形を説明します。
それは、三平方の定理の証明に使われる図形です。三角形の各辺に、正方形があります。その各辺の二乗と各正方形が一致する図形です。

その図形を使って、以下の問題に答えなければなりません。
以下のc2等の表記はｃ二乗のことを表します。
問題「余弦定理は、ｃ2－（a2+b2）＝－2abcosC　である。つまり、正方形a2の面積と正方形b2の面積の和と、正方形ｃ2との差が、－2abcosCであるといえる。では、Cが鈍角である場合、－2abcosC　を指す面積を斜線で記せ。」というものです。

字ズラのみで分かりにくいと思いますが、分かる方お教え下さい。今学期の期末にでるみたいで、頑張って理解するので、お教え下さい。
一応、参考になるかと思い、図形の参考ページのURLをのせておきました。勝手にアップしてしまい申し訳ないですが、ご理解下さい。
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/cosine.htm

上記のページの解説方法は、鋭角の場合で、鈍角の場合はどうなるのか分かりませんでした。また、もう少し詳しく説明して頂けると理解できると思うのですが。分かる方お願いします。

回答No.4

33550336

すいません、やはり説明が不十分だったようですね。
そして少し私の勘違いがあったので訂正します。
以下、点の記号は補足の質問の内容の通りとします。

ＣからＡＢに下ろした垂線と、ＤＥとの交点をＰ
ＡからＢＣに下ろした垂線と、ＧＦの延長線との交点をＱ
ＢからＣＡに下ろした垂線と、ＩＨの延長線との交点をＲとします。
このとき、△ＡＰＥの面積＝△ＡＣＥの面積（∵等積変形）
　　　　　　　　　　　　＝△ＡＢＨの面積（∵合同）
　　　　　　　　　　　　＝△ＡＨＲの面積（∵等積変形）
同様にして、△ＢＤＰの面積＝△ＢＧＱの面積
よって、
正方形ＡＢＤＥの面積＝正方形ＢＣＧＦの面積＋正方形ＡＣＩＨの面積
　　　　　　　　　　　＋２＊（△ＣＩＲの面積＋△ＣＦＱの面積）
となります。
△ＣＩＲの面積＋△ＣＦＱの面積　を計算すれば、
－ＢＣ＊ＣＡ＊cos（∠ＢＣＡ）なります。
だから斜線で記すとすれば、ＣＲを対角線とする長方形とＣＱを対角線とする長方形になります。

お礼

ありがとうございます。
かなり理解が深まりました。
助かりました。本当にありがとうござました。

回答No.3

33550336

ちょっと複雑ですが説明だけ。
鋭角のときと同様に、正方形を書き、３つの頂点から垂線を下ろします。
このとき、三角形の最長辺（以下辺Ａ）を含む正方形（以下正方形Ａ）は、辺Ａに下ろされた垂線によって２つの長方形に分けられます。
これらの長方形に対角線を引くことによってできる三角形を、等積変形によって正方形Ａの一辺と、三角形の辺Ａ以外の辺を含む三角形にそれぞれ変形します。
このようにしてできる三角形は辺Ａと正方形Ａ以外の正方形の一辺を含む三角形と合同であることがわかります。
さらにこれらの三角形を辺Ａ以外の辺に下ろした垂線を利用して等積変形すると、正方形Ａの面積が他の二つの正方形と二つの長方形の面積の和で表されることがわかります。
あとはこれらの２つの長方形の面積の和を計算すると、－2abcosCと一致することがわかります。

以上です。下手な説明ですいません。。。

補足

すいません。やってみたのですが、補足の質問いいですか？
前提として、便宜上、英字で伝えます。おそらく、分かってもらえると思いうのですが。こちらと同じ図ができるように説明します。
「まず、鈍角の三角形をABCとして、その最長辺を左からABと順番にして、それ以外をCとします。

そして、最長辺ABからできる正方形をABDEとします。Aから真っ直ぐに下ろしたところがEで、Bからまっすぐに下ろしたところがDです。

それ以外の正方形も同じように、三角形AC辺の正方形をACIHとして、Aから伸びたところをH、Cから伸びたところをIとします。

最後に、三角形BCの辺からできる正方形をBCFGとします。Bから伸びたところをG、Cから伸びたところをFとします。

また、辺の長さとしては、一番長いABを約5センチ、2番目に長いBCを約4センチ、一番短いACを約2cmとして、角度は、角Cが一番大きく約100度、次に角Aが大きく約60度、Cは一番鋭角で、約20度です。
」
そうすると、こちらと回答者様が同じ図になると思います。
角度や長さはだいたいで、こちらにある図を調べたものですが、大体でお願いします。

それを使って、是非理解したいです。

やってみると、三角形の最長辺ABに向けて、角Cから垂線を引くと、正方形ABDEは2つの長方形になります。
その後、同じように、三角形の角Bより垂線を引くと、正方形BCFGの中に三角形ができますか？そして、三角形Aより垂線を引くと、正方形ACIHの中に三角形できますよね？
ここまでは、いいんですか？

そして、2つの長方形ができた両方の長方形にそれぞれ、対角線をひくんですよね？
その後の、等積変形が、どの三角形とどの三角形がそうなるのか分かりません。
ここから、もう少し詳しくお教えいただけますか？
ながながとすいませんが、よろしくお願いします。

回答No.2

seta_takahiro

すみません、一つ前の投稿でマイナスの面積を図示せよなんて、
と書いてしまいましたが、
問題文にマイナスがついていましたね。
ちゃんとそれに注意すれば、正しい問題でした。

回答No.1

seta_takahiro

単純に問題に答えるだけだと、
参考ページのURLの正方形の頂点に左上の正方形の左側の頂点から時計回りに
D,E,F,G,H,I
と名前をふれば
三角形ACE (= 三角形ABF) が
1/2 x AB x AC x sin(90度 + A) = 1/2 x AB x AC x cosA
というのは良いですよね。
三角形の面積をsinを使って表すことが出来れば、
角CAE は角CABに角BAE(直角)を足したものなので90度+Aということに注意してください。

で、一番のポイントはおそらく、等積変形で、これは、
三角形ACEというのがAEを底辺とした三角形だ、という見方をすれば、
Rと名付けられた領域の半分の面積だということが分かると思います。
(Cからおろした垂線はAEに平行なので)
つまりRは AB x AC x cosA ということになります

これはAが鈍角でも同じだと思います
面積はマイナスにならないのにcosがマイナスなので、
それを図示せよなんて、
そんな問題をだす教員もどうかと思いますが
ひとまず鋭角の場合を理解するよう頑張ってください。