数学の図形問題がわかりません

質問

おそらく中等数学の範囲までで解けると思われる
図形問題が解けません。（小学生でも解けるらしいです）
１辺が１０cmの正方形ABCDにおいて
各辺を半径とする弧を４本引きます。
その４本の弧に囲まれた部分の面積はいくらか。
という問題です。
解けなくてかなり悔しいです。
わかる方は回答お願いします。

回答No.3

springside · ベストアンサー

確かに、√が登場するので小学生の算数の範囲では無理です。

正方形の頂点に関し、左上、左下、右下、右上の順にA,B,C,Dとする。
面積を求めたい部分の上の頂点をE、右の頂点をFとする。
（ポイントは、三角形EBCは正三角形になること、∠EBC=60°なので扇形ABEの中心角が30°になることの２つを利用することです）

ステップ１：
図形AEDの面積 = 正方形ABCD - 三角形EBC - 扇形ABE*2
=10^2 - (1/2)*10*5√3 - π*10^2*(30/360)*2
=100-25√3-(50/3)π

ステップ２：
図形DEFの面積 = 正方形ABCD - 扇形ABC - 図形AED*2
=10^2 - π*10^2*(1/4) - 2{100-25√3-(50/3)π}
=-100+50√3+(25/3)π

ステップ３：
求めたい面積 = 正方形ABCD - 図形AED*4 - 図形DEF*4
=10^2 - 4{100-25√3-(50/3)π} - 4{-100+50√3+(25/3)π}
=100-100√3+(100/3)π
（約31.5）

回答No.2

shkwta

ルートが出てくるので、小学生ではちょっと難しいです。

まず、次の三種類の図形を考えます。
〔ア〕１つの辺と、それを半径とする２つの弧で囲まれた図形。これは何形というのでしょうか、先のとがった帽子みたいな形です。
〔イ〕正方形全体。
〔ウ〕円の４分の１の扇形。

問題の、「４本の弧に囲まれた部分」は、図形の重なりを考えると
　４×〔ア〕 ＋　〔イ〕－ ４×〔ウ〕
で表わされます。ここで〔イ〕と〔ウ〕の面積はすぐわかるので、あとは〔ア〕の面積を考えます。

続いて、次の図形を考えます。
〔エ〕円の６分の１の扇形。
〔オ〕正三角形（辺の長さが、正方形の一辺と同じ）

ここで、
〔ア〕＝〔エ〕×２－〔オ〕
となることは、すぐわかります。

〔エ〕の面積はすぐわかるので、あとは〔オ〕の面積を考えます。
正三角形なので、三平方の定理で、高さが、一辺の(√3)/2　倍であることがわかります。底辺は一辺そのものです。

あとは簡単です。

回答No.1

rmz1002

ではヒントだけ。

> 各辺を半径とする弧
この四つを並び変えると、1つの円になりますよね？
また、元の状態で、ダブっているところが何箇所かありますよね？
あとは「元の正方形」「円」「ダブっているところ」を差し引きすれば、「4本の弧に囲まれた部分」の面積がでます。