ピタゴラスの定理を使った問題

質問

ピタゴラスの定理ですが、正方形の中にある一点を取ります。その点から三つのその正方形の頂点（これら頂点は連続する３つの頂点）までの長さを、それぞれ３０ｍ、５０ｍ、４０ｍとした場合のこの正方形の面積の出し方を 教えてください。

回答No.5

tecchan22

＃２です。久しぶりに見ました。すみません。レスがついていたのですね。

＃３の方のとほとんど同じかと思いますが、少し計算が簡単かも知れません。

正方形中の一点をＰ，そこから頂点までの距離を簡単のため３，４，５メートルとし，それぞれに対応する頂点をＡ，Ｂ，Ｃとして，

Ｐから辺ＡＢ，ＢＣに垂線を下ろしその足をＨ，Ｉとします。

そして，一辺の長さをＸ，ＡＨ＝ａ’，ＨＢ＝ａ，ＢＩ＝ｂ，ＩＣ＝ｂ’とします。

すると
ａ＋ａ’＝Ｘ　　・・・(1)
ｂ＋ｂ’＝Ｘ　　・・・(2)

三平方の定理より，
ａ＾２＋ｂ＾２＝１６　　　　・・・(3)
（ａ’）＾２＋ｂ＾２＝９　　・・・(4)
ａ＾２＋（ｂ’）＾２＝２５　・・・(5)

ここで，(3)－(4)より
ａ＾２－（ａ’）＾２＝７
両辺を(1)で割って，
ａ－ａ’＝７／Ｘ
これと(1)より，ａ＝（Ｘ＋７／Ｘ）／２，ａ’＝（Ｘ－７／Ｘ）／２

そして(5)－(3)より・・と同様にして，ｂ＝（Ｘ－９／Ｘ）／２，ｂ’＝（Ｘ＋９／Ｘ）／２

これらを(3)に代入して，
｛（Ｘ＋７／Ｘ）／２｝＾２＋｛（Ｘ－９／Ｘ）／２｝＾２＝１６
整理してＸ＾４－３４Ｘ＋６５＝０
∴Ｘ＾２＝１７＋４√１４
（マイナスのほうは一辺Ｘが２より小さくなるので，長さ３の線分を正方形内部に含めない（当然４，５も）ので不適）
よってスケールを１０倍にして，
１７００＋４００√１４（ｍ＾２）
ですね。

＃２では１／１０になっていたのと，ｍ＾２がｍになっていたミスが・・。失礼をば。

回答No.4

whoduit

>> ａ＾２＋ｂ＾２＝９００
>> ａ＾２＋（ｘ－ｂ）＾２＝１６００
>> （ｘ－ｂ）＾２＋（ｘ－ａ）＾２＝２５００

Ａ

ｂ　　　３０

Ｅ　　　　ａ　　　　Ｐ（ジュース）

ｘ－ｂ　　　４０　ｘ－ｂ　　　　　　５０　

Ｂ　　　　ａ　　　　Ｈ　　　ｘ－ａ　　　　　　　　　　Ｃ

　a^2+b^2=900
　a^2+(x-b)^2=1600------>(x-b)^2=1600-a^2
　1600-a^2+(x-a)^2=2500

　　a^2+x^2-2bx+b^2=1600
　　1600-a^2+x^2-2ax+a^2=2500

　　　　x^2-2bx+900=1600
　　　　1600+x^2-2ax=2500

a^2+b^2=900
　　x^2-2bx-700=0
　　x^2-2ax-900=0

[(x^2-700)/2x]=b
[(x^2-900)/2x]=a

[(x^2-900)/2x]^2+[(x^2-700)/2x]^2=900
(x^2-900)^2+(x^2-700)^2=3600・x^2

x^2=s
(s-900)^2+(s-700)^2=3600s
s^2-1800s+810000+s^2-1400s+490000=3600s
2(s^2)-68s+1300000=0
(s^2)-3400s+650000=0

s1=1700+√2240000=1700+400√17≒3196（適する。）
s2=1700-√2240000=1700-400√17≒203（適さない。）

＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾

Ｐ

　　　５０

　　　　　　Ｓ(a,b)
　　　４０　　　　３０
Ｑ　　　　　　　　　　Ｒ

　a^2+b^2=16
　(x-a)^2+b^2=9
　(x-b)^2+a^2=25

　x^2-2ax+a^2+b^2=9
　x^2-2bx+a^2+b^2=25

　x^2-2ax+16=9
　x^2-2bx+16=25

　x^2-2ax+7=0
　x^2-2bx-9=0

　[(x^2+7)/2x]=a
　[(x^2-9)/2x]=b

　[(x^2+7)/2x]^2+[(x^2-9)/2x]^2=16
　[(x^2)+7)]^2+[(x^2)-9)]^2=64(x^2)

　(x^2)=s
　(s+7)^2+(s-9)^2=64s
　(s^2)+14s+49+(s^2)-18s+81=64s
　2(s^2)-68s+130=0
　(s^2)-34s+65=0
　s=17+4√14
S=1700+400√14　。

お礼

有難うございました。ここまで、展開できませんでした。すごいの一言です。

回答No.3

tecchan22

頂点の連続する順に、３０ｍ，５０ｍ，４０ｍなら解はない。
３０，４０，５０の順なら、１７０＋４０√１４（ｍ）
４０，３０，５０の順なら、２０５＋１５√１１９（ｍ）
※計算ミスしていなければ。

方程式をたてて計算するしかないんじゃない？

補足

回答ありがとうございます。当方が順番を間違えたようで、３０，４０，５０ｍの順でご名答です。方程式で解くのだと思います。１辺の長さをＸｍと置き、まず、３０ｍの方の点から辺に補助線を引き、補助線と正方形の辺の交えわる点から頂点までの長さをＢｍ，同様に４０ｍの方から下に補助線をひき、それと正方形までの角をＡｍとすると、
Ａの２乗＋Ｂ２乗＝３０の２乗、Ａ２乗＋（Ｘ－Ｂ）２乗＝４０の２乗、（Ｘ－Ｂ）２乗＋（Ｘ－Ａ）２乗＝５０の２乗という式をたててＸを求めていくのではないかと思っていますが、ここからどのように進めていくとＸが求められていくのかがわかりません。あるいは、この考え方が間違っているのかもしれません。よろしくお願いします。

回答No.2

debukuro

そんな面倒なことをしなくても１辺の長さを測れば面積は簡単に求めることができる

四辺形には４つの頂点があるのに三つの頂点とは意味不明
３０，４０，５０の三角形なら簡単なんだが?(・・*)。。oＯ
質問内容から正方形の辺を求めることができるかどうか？

回答No.1

ecoshopQ

非ユークリッド幾何学？
正方形の頂点って何？
頭悪いのかもしれんが、
何言ってるのかさっぱりわからん。

補足

皆さん、わかりにくくてすみません。
実は英語の問題で、原文は、A farmer has a square field.He places a drinking trough so it is 30m, 40m and 50m away from 3 consecutive corners respectively. How big is the field ? 図で書けば簡単に示せるのですが、正方形の中に一点（原文中はジュースを置いたとあり）をとり、そこから３つのコーナー(頂点）に向けての長さが、３０ｍ、４０ｍ、５０ｍという意味です。正方形の中の一点
から３つの角までの長さが、３０ｍ、４０ｍ、５０ｍということです。
正方形の４つの角をA,B,C,Dとすると、３つの連続するというのはA,B,Cまでのそれぞれの距離で、A,B,D　（ｃを飛ばして）ではないということです。