余弦定理の証明(鈍角)について

質問

鈍角の時の余弦定理の証明について、鋭角の時と同じように
BC^2=CD^2+BD^2
CD^2=(bsinA)^2
BD^2=(c-bcosA)^2
が成り立つことを確かめよ、という問題での疑問です。

三角形ABCがあり、角Aが鈍角で、辺ABが底辺となり、点Cから辺ABの延長上の線に垂直に垂線CDを下ろす、という図があって
この時、
BC^2=CD^2+BD^2は三平方の定理より成り立ち、
CD=｛bsin(180°-A)｝^2
=(bsinA)^2
となり、ここまでは理解できるのですが、
AD=bcos(180°-A)
=-bcosA←ここがよくわかりません。

この後、よってBD^2=(c-bcosA)^2
と説明が続くのですが、ADの値が何故負になるのでしょうか？
cos(180°-A)=-cosAになるのは分かるのですが、辺ADが負の値になっている点と、c-bcosA=BDになる理由が分かりません。

図がないので分かりづらいかもしれませんが、回答よろしくお願いします！

回答No.1

f272 · ベストアンサー

> ADの値が何故負になるのでしょうか？

AD=bcos(180°-A)=-bcosA
です。Aが鈍角なのだからcosA<0であり，-bcosAは正です。
また
BD=BA+AD=c+(-bcosA)=c-bcosA

お礼

回答ありがとうございます！
普段cos(180°-θ)=-cosθの式を使う時に、θに鋭角を入れることが多かったので、cosAが鈍角の時に負の値になることをすっかり失念していました。
例えば、A=120°だった場合、cos 120°=-cos60°になるわけですから-bcosAは確かに正の値になりますね。
疑問が解けてスッキリしました！有り難うございました！