近似式（１＋ｒ）^ｎ≒１＋nrの由来について。

質問

１>>ｒの時、近似式（１＋ｒ）^ｎ≒１＋nrは有名な式ですが、
私はこの式は2項定理から証明するものだと思っていたので、
nが自然数限定だと思っていたのですが、

今日、参考書でn＝－１の時にこの近似式を使っているものを見ました。
そういえばｎ＝１/2などでも使っていたものがあったような気がします。　
nがマイナスや分数、あるいは無理数の時、この近似式はどこから導かれているのでしょうか？
どなたか分かる方、よろしくお願いします。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

テイラー展開
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%B1%95%E9%96%8B
をしたとき、
第１項は１、第２項はｎｒとなり、第３項以降は、ｒ^2 の項、ｒ^3 の項、ｒ^4 の項・・・・・になります。

ｒが１より非常に小さいので、第３項以上は非常に小さいものの２乗、３乗、４乗・・・・・の項になります。

係数がどうであれ、非常に小さいものの２乗、３乗、４乗・・・・・ですから、１乗の項に比べれば無視できるということです。
よって、第１項（１）と第２項（ｒの１乗の項）だけの近似が成り立ちます。

お礼

とても詳しいご説明どうもありがとうございます。

テイラー展開でxに１＋ｒ、aに１を代入するのですね。
とてもよく分かりました。

どうもありがとうございました。

回答No.1

kabaokaba

「ニュートンの二項定理」というのがあるんです．
任意の実数 a に対して
(1+x)^a = 1 + ax + a(a-1)/2 x^2 + a(a-1)(a-2)/3! x^3 + ・・・・

これはぶっちゃけた話，(1+x)^aのマクロリン展開であって
x^a の導関数が ax^{a-1} であることに由来します．

お礼

御回答どうもありがとうございます。

マクローリン展開も一応知ってるんですが、
こんな使い方があるなんて・・・、びっくりしました。

とても勉強になりました。
どうもありがとうございました。