∫[1 to ∞]dx/(x(ln(x))^p)が収束するpの条件は?

質問

宜しくお願い致します。

∞
∫dx/(x(ln(x))^p)
1

(ln(x)は自然対数)

が収束する条件はどうやって求めればいいのでしょうか?

「調和級数Σ[n=0..∞]1/n^pはp>1の時,収束」とかを利用するのかとも思いましたが、、、

回答No.1

noname#50894 · ベストアンサー

多少、天下りではありますが。
{d/dx}[{ln(x)}^(1-p)]=(1-p)(1/x)[{ln(x)}^(-p)]…(a)

以下、eを自然定数（程度の値に選べば良い）
0<ε<e-1,R>eとして、式(a)の両辺を、x=1+εからRに渡って定積分を行う。

{ln(R)}^(1-p)-{ln(1+ε)}^(1-p)=(1-p)∫[x=1+ε,R]dx/[(x*{ln(x)}^p]…(b)

・p<1の時、式(b)の左辺第１項→∞[R→∞]，式(b)の左辺第２項→0[ε→0]
・p>1の時、式(b)の左辺第１項→0[R→∞]，式(b)の左辺第２項→-∞[ε→0]

・p=1の時、
y=ln(x)とおくと、dy/dx=1/x

∫[x=1+ε,R]dx/[(x*{ln(x)}]=∫[y=ln(1+ε),ln(R)]dy/y
=ln{ln(R)}-ln{ln(1+ε)}…(c)

ε→0，R→∞のとき、(c)の右辺→∞

（まとめ）全ての場合において、収束しない。

お礼

ご回答有難うございます。大変参考になっております。

置換積分ででも積分できました。

z:=ln(x)と置けば,dz=dx/x.
p≠1の時
∫dx/x(ln(x))^p=∫dz/z^p=z^(1-p)/(1-p)=(ln(x))^(1-p)/(1-p)
よって
∫[1～∞]dx/x(ln(x))^p=lim[s→∞]∫[1～s]dx/(x(ln(x))^p)
=lim[s→∞][(ln(x))^(1-p)/(1-p)]^s_1
=lim[s→∞]((ln(s))^(1-p)/(1-p)-0)
これはp<1の時∞、p>1の時0
となると思うのですが何処がまちがってますでしょうか?