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階段行列でA^2=A
階段行列である正方行列AがA^2=Aを満たすとき，Aの成分に関する条件を求めよ。 という問題が分かりません。 最終的には成分比較をするという見当はつくのですが，階段行列であることをどうやって利用するのかが不明です。 どのように解けばよいでしょうか。
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＞ D - Eq は対角成分が全て -1 の上三角行列なので正則であり ＞ とありますが，なぜ正則だと言えるのでしょうか。 行列が正則である、即ち、逆行列を持つ必要十分条件は、その行列式が0でないことですよね。そして、上三角行列（対角成分の左下の成分はすべて 0 ）の行列式は、その対角成分の積になりますよね。ですから、上三角行列の対角成分がすべて0でないならその行列式は 0 にはなりません。以上、教科書で確認してみてください。 ただ、ここが分からないようですと、先の回答の小行列Ｂが正則であることも分からないはずですが・・・。 階段行列Ａは Ａ＝ ｜Ｂ Ｃ｜ ｜Ｏ Ｄ| Ｂは対角成分がすべて 0 でない上三角行列、Ｄは対角成分が全て 0 の上三角行列というように分割できる。Ｂは正則です。Ｄは正則ではないが、Ｄ－Ｅｑの対角成分はすべて 0 でないので正則です。
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- kumipapa
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すみません。大きく訂正 rank(A)での場合分けは間違いでした。 Aのゼロでない対角成分の個数を p として、q = n - p とおくと、Aは、 p × p の小行列 B と p×q のC 、q × q の D の小行列で Ａ＝ ｜Ｂ Ｃ｜ ｜Ｏ Ｄ| とかけるのだと思います。 イメージとしては、 ｜ａ１１ ａ１２ ａ１３ ａ１４ ａ１５ ．．． ｜ ０ ａ２２ ａ２３ ａ２４ ａ２５ ．．． ｜ ０ ０ ａ３３ ａ３４ ａ３５ ．．． ｜ ０ ０ ０ ０ ａ３４ ．．． ．．．．．．． という感じで、この場合、０でない対角成分の数 p = 3 であり、i ≦ p で aii ≠ 0、i＞p で aii = 0、左下は全て 0 。 このとき、小行列Ｂを左上 p×p の ｜ａ１１ ａ１２ ａ１３｜ ｜ ０ ａ２２ ａ２３｜ ｜ ０ ０ ａ３３｜ とおき、Ｂの右をＣ、Ｂの下はゼロ行列となって、Ｂの右下をＤとおくと、Ｂは対角成分が全部ゼロ以外である上三角行列なので正則、Ｄは対角成分が全て0の上三角行列。A^2 = A ⇔ A (A - E) = 0 の左辺を計算すると ｜Ｂ Ｃ｜｜Ｂ－Ｅｐ Ｃ ｜ ｜Ｏ Ｄ｜｜ Ｏ Ｄ－Ｅｑ｜ ＝ ｜Ｂ（Ｂ－Ｅｐ） ＢＣ＋Ｃ（Ｄ－Ｅｑ）｜ ｜ Ｏ Ｄ（Ｄ－Ｅｑ） ｜ となりますが、 B(B-Ep) = O を解くと、Bは正則なので B^-1が存在し、B = Ep D(D - Eq) = O を解くと、D - Eq は対角成分が全て -1 の上三角行列なので正則であり、(D - Eq)^-1 を右からかけて D = O となります。 p = 0 のときは A^2 = A を満たす A は存在せず、1 ≦ p ≦ n で Ａ＝ ｜Ｅｐ Ｃ｜ ｜Ｏ Ｏ｜ だと思います。たびたびすみません。
補足
幾度の回答ありがとうございます。 D - Eq は対角成分が全て -1 の上三角行列なので正則であり とありますが，なぜ正則だと言えるのでしょうか。 その示し方が分かりません。
- kumipapa
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＞ なぜ左下の部分は零行列だと言えるのでしょうか 私が勘違いしていたら申し訳ありませんが、それが階段行列の定義では？ 階段行列っていうのは、 |abcd| |0efg| |000h| |0000| みたいな感じで、0でない成分が階段状にあり、その階段状の下はすべて0、階段の高さが１というのが定義だと思ったのですが。 質問者さんは、階段行列をどのように定義されていますか？
- kumipapa
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直感的には Ａ＝｜ＥＣ｜ ｜ＯＯ｜ ならば A^2 = A が成立（Ｅは単位行列） 階段行列の定義に従って、Ａを分割して考えたらどうでしょう。 Ａは n×n の階段行列で A^2 = A 、Em を m 次単位行列とします。 rank(A) = n （Aが正則）のとき、Aは逆行列を持ち A^2 = A ⇒ A = E 0 ＜ rank(A) = p ＜ n のときは、q = n - p とすると、A は階段行列なので、p × pの小行列 B と、p × q の小行列C、q × q の小行列 D に分割でき、 Ａ＝｜Ｂ Ｃ｜ ｜Ｏ Ｄ｜ と表せ、Ｂは正則、Ｄは対角成分と左下成分が全て0の正方行列。 A^2 = A ⇔ A (A - En) = O なので、A(A - En) を計算すると、 Ａ（Ａ－Ｅｎ）＝｜Ｂ Ｃ｜｜Ｂ－Ｅｐ Ｃ ｜ ｜Ｏ Ｄ｜｜ Ｏ Ｄ－Ｅｑ｜ ＝｜Ｂ（Ｂ－Ｅｐ） ＢＣ＋Ｃ（Ｄ－Ｅｑ）｜ ｜ Ｏ Ｄ（Ｄ－Ｅｑ） ｜ ＝Ｏ より、 (1) B (B - Ep) = O (2) B C + C (D-Eq) = O (3) D(D - Eq) = O (1) において、Bは正則だから逆行列が存在し、B - Ep = O ∴ B = Ep (3) において、D - Eq は正則なので逆行列が存在し、D = O B = Ep, D = O を(2) に代入すると、p × q の任意の行列 C において(2)式は成立する。 従って、行列Aは、 Ａ＝｜Ｅq Ｃ｜ ｜Ｏ Ｏ｜ たとえば、n = 3, rank(A) = 2 ならば Ａ＝｜１０ａ｜ ｜０１ｂ｜ ｜０００｜ n = 4, rank(A) = 2 ならば Ａ＝｜１０ａｂ｜ ｜０１ｃｄ｜ ｜００００｜ ｜００００｜ の形 ではないでしょうか。
補足
回答ありがとうございます。不明な点があります。 0 ＜ rank(A) = p ＜ n のときは、q = n - p とすると、A は階段行列なので、p × pの小行列 B と、p × q の小行列C、q × q の小行列 D に分割でき、 Ａ＝｜Ｂ Ｃ｜ ｜Ｏ Ｄ｜ とありますが，なぜ左下の部分は零行列だと言えるのでしょうか。
お礼
ようやく理解できました。 度重なる回答，本当にありがとうございました。