1/√(4x-x^2)の積分がわからず困っています。

質問

1/√(4x-x^2)の積分がわからず困っています。
分母を置換してもよくわからないです。
教えてください、お願いします。

回答No.2

proto · ベストアンサー

まずルートの中を平方完成
　　4x-x^2 = 4-(x-2)^2
x-2=yと置いて置換
　　∫dx/√(4-(x-2)^2) = ∫dy/√(4-y^2)
ルートの中を因数分解
　　∫dy/√(4-y^2) = ∫dy/√((2+y)(2-y))
1/(2+y)を括り出す
　　∫dy/√((2+y)(2-y)) = ∫{1/(2+y)}・√((2+y)/(2-y))dy
z=√((2+y)/(2-y))と置くと
　y = -2(1-z^2)/(2+z^2)
　dy/dz = 12z/(2+z^2)^2
　1/(2+y) = 1/(2-2(1-z^2)/(2+z^2)) = (2+z^2)/(2(1+2z^2))
これで置換をするとzについての有理関数になる。
あとは分母を2次以下に因数分解して、部分分数展開して項ごとに積分。

お礼

わかりやすい回答解説ありがとうございます。
結構、面倒くさいですね。

回答No.1

KappNets

公式集では「２次無理関数」の積分というところに分類されています。
x=u+2 とおくと
1/√(4x-x^2)=1/√(4-u^2), dx=du
となります。u=2*sin(t) とおくと
du/√(4-u^2)=[2*cos(t)*dt]/√[4-4*{sin(t)}^2]=dt
となります。積分すると t となります。t を x に戻します。

お礼

スタイリッシュな回答ありがとうございます。
かっこいいやり方ですね。